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Eigenvektor: Vom Eigenwert zum Eigenvektor
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Mi 09.05.2012
Autor: Blubbb

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hey,

meine Frage betrifft Eigenvektoren.
Gegeben ist eine Einheitsmatrix I und eine Matrix A zu welcher ich die Eigenwerte x1,x2,... ausgerechnet habe.
Nun möchte ich die zugehörigen Eigenvektoren ausrechnen.
Um den Eigenvektor von x1 auszurechnen setzte ich x1 in die Matrix (A-I*x) ein und löse das homogene LGS.
Da die Zeilen linear abhängig sind, gibt es keine eindeutige Lösung.
Der Eigenvektor ist aber eindeutig. Woher weiß ich nun, welcher dieser Vektoren mein Eigenvektor zu x1 ist?

Vielen Danke im vorraus!

        
Bezug
Eigenvektor: korrigierte Ver.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Mi 09.05.2012
Autor: Adamantin


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hey,
>  
> meine Frage betrifft Eigenvektoren.
>  Gegeben ist eine Einheitsmatrix I und eine Matrix A zu
> welcher ich die Eigenwerte x1,x2,... ausgerechnet habe.
>  Nun möchte ich die zugehörigen Eigenvektoren
> ausrechnen.
>  Um den Eigenvektor von x1 auszurechnen setzte ich x1 in
> die Matrix (A-I*x) ein und löse das homogene LGS.
>  Da die Zeilen linear abhängig sind, gibt es keine
> eindeutige Lösung.
>  Der Eigenvektor ist aber eindeutig. Woher weiß ich nun,
> welcher dieser Vektoren mein Eigenvektor zu x1 ist?

Das kommt auf die sogenannte geometrische Vielfachheit an: Die Dimension des Eigenraumes U, also der Dimension des Eigenvektors zu deinem Eigenwert. Hat dein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1 und kommt nur einmal vor, hast du auch nur einen Freiheitsgrad beim Eigenvektor, der dazugehört. Das entspricht einer Geraden. Dies ist auch logisch: Wenn ein Eigenvektor durch den Eigenwert in sich selbst bei der lin. Abbildung übergeht, muss dies auch für jeden zu diesem Eigenvektor parallelen Vektor gelten. Du erhälst also NIEMALS nur exakt einen Eigenvektor, sondern bei einem einfachen Eigenwert min. 1 Freiheitsgrad im Eigenvektor.

Hast du aber eine algebraische Vielfachheit größer 1, so kann der Vektor (im Falle der Diagonalisierbarkeit muss er sogar) mehrere Freiheitsgrade haben. Im einfachsten Fall hast du als Lösungsraum eine Ebene mit der Dimension 2, also zwei Freiheitsgrad in deinem Vektor. Dann darfst du dir zwei Repräsentanten als Eigenvektoren aussuchen, die dann z.B. senkrecht aufeinander stehen (später für eine ONB wichtig). Normalerweise den normierten mit der Länge 1. Hättest du also als Eigenvektor:

[mm] $v_{\lambda_1}=\vektor [/mm] {1 [mm] \\ 1\\1}\mu$ [/mm] so ist dies gleichbedeutend mit einer konkreten Wahl:

[mm] $v_1=\vektor{1\\1\\1}$. [/mm] (auch wenn 1/3 wegen obiger Bemerkung besser wäre :)).

Jedoch kann auch jede andere Wahl als korrekt gelten, dies hängt einzig und allein von deinen Vorlieben ab. Die korrekte angabe des Eigenvektors enthält hier immer einen Parameter.

Hast du den Eigenvektor:

[mm] $v_{\lambda_2}=\vektor{1\\0\\0}s+\vektor{0\\0\\1}t$ [/mm]

So kannst du ZWEI verschiedene Eigenvektoren als Repräsentanten wählen:
[mm] $v_1=\vektor{1\\0\\0}$, $v_2=\vektor{0\\0\\1}$ [/mm]

Hast du also im Lösungsraum zwei Freiheitsgrade, kannst du zwei verschiedene Eigenvektoren wählen, die nicht kollinear sind.

Also allgemein: Das ist normal, dass du bei mehrfachen Eigenwerten auch einen Freiheitsgrad größer 1 in deinem Eigenvektor erhälst.
Eine Variable hast du aber auf jeden Fall immer.

Wähle dir dann mit passenden Koeffizienten einen Repräsentanten als Eigenvektor, alle anderen sind ja zu diesem kollinear.



>  
> Vielen Danke im vorraus!


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