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| Aufgabe | f: R+ ->R (soll heißen: alle positiven reelle auf reelle Zahlen)
f(x)= x+2
_____________
f: R->R
f(x)= 2x+3
_____________
f: [mm] R\(1)->R
[/mm]
f(x)=x/(x-1) |
Hallihallo,
hoffentlich bin ich hier richtig!
Also: so sind die Aufgabe gestellt und nun soll ich auf surjektiv, injektiv und bijektiv prüfen. Definitionen hab ich zu Hauf gelesen, aber ich verstehe nicht eine...
Gibts da nicht irgendwas Gängiges wie "Stellen sie nach x um und wenn das...und das... rauskommt, dann ist es surjektiv, oder bijektiv."
Kann das jemand in ganz einfachen Worten erklären?Bööööte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:04 So 21.10.2007 | | Autor: | Aoy |
Hallo
Du hast ein Menge von der du ausgehst, hier [mm] \IR [/mm] also alle reellen Zahlen, und ein Bildgebiet, das ist die Menge in die abgebildet wird. in der liegt die Bildmenge. die ist hier auch [mm] \IR
[/mm]
Wenn jeder Punkt der Bildmenge erreicht wird, heisst die Abbildung surjektiv. (Abbildung auf)
wenn nicht alle Punkte erreicht wrden, aber zu jedem Urbild nur ein Bild gehört heisst die Abbildung injektiv.
guck dir die zugehörige genaue Definition in Wikipedia an.
Damit du ein Beispiel hast :
f(x)=5*x ist surjektiv von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] denn ich kann zu jedem Bild y=5x ein "Urbild" x=y/5 finden.
y=5x Abbildung von [mm] \ÛN [/mm] nach [mm] \IN [/mm] ist injektiv, aber nicht surjektiv, denn etwa y=3 kann ich durch kein x natürliche Zahl erreichen.
MvG Aoy
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:56 Mo 22.10.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Wenn jeder Punkt der Bildmenge erreicht wird, heisst die
> Abbildung surjektiv. (Abbildung auf)
Das ist richtig:
Sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine Funktion.
f heißt surjektiv, wenn folgendes gilt:
Für jedes [mm] y\in [/mm] Y findet man ein [mm] x\in [/mm] X mit f(x)=y.
> wenn nicht alle Punkte erreicht wrden, aber zu jedem Urbild
> nur ein Bild gehört heisst die Abbildung injektiv.
Das ist nicht richtig:
1. ob alle Punkte in der Bildmenge erreicht werden oder nicht, spielt für die Injektivität keine Rolle.
Richtig ist: es MUSS nicht jeder Punkt erreicht werden.
2. Bei jeder Funktion gehört zu jedem Urbild nur ein Bild - sonst wäre die Zuordnung ja nicht eindeutig.
Richtig ist: jedes Bild hat nur ein (genau ein) Urbild.
Sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine Funktion.
f heißt injektiv, wenn folgendes gilt:
Ist für [mm] x_1,x_2\in [/mm] X
[mm] f(x_1)=f(x_2)
[/mm]
so folgt [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> f: R+ ->R (soll heißen: alle positiven reelle auf reelle
> Zahlen)
> f(x)= x+2
Hallo,
.
In meiner Korrekturmitteilung zu Aoys beitrag kannst Du lesen, wie man auf injektiv ud surjektiv prüft.
Ich mache Dir das jetzt mal an Deiner ersten Funktion vor:
Ist sie surjektiv?
Die Funktion bildet ab in die Menge [mm] \IR, [/mm] und es ist die Frage, ob ich zu jeder beliebigen reellen Zahl y eine Zahl x aus der Definitionsmenge [mm] \IR_+, [/mm] also eine positive Zahl, finde, so daß f(x)=y ist.
Man ahnt schon, daß das schwierig wird? Gibt es ein [mm] x\in \IR_+ [/mm] so, daß f(x)=-5 ist?
Schauen wir mal nach:
es muß dann gelten -5=f(x)=x+2 ==> x=-7.
-7 liegt aber nicht in [mm] \IR_2.
[/mm]
Also findet man kein [mm] x\in \IR_+, [/mm] welches auf -5 abgebildet wird.
Folglich ist die Funktion nicht surjektiv.
Ist die Funktion injektiv?
Hier steckt die Frage dahinter, ob es sein kann, daß zwei Elemente aus dem Definitionsbereich auf ein und dasselbe Element im Wertebereich abgebildet werden. Wenn dies der Fall ist, ist die Funktion nicht injektiv.
Gucken wir auch hier:
Angenommen, wir hätten zwei Elemente a, b aus den definitionsbereich [mm] \IR_+, [/mm] die auf dasselbe Element im Wertebereich abgebildet werden, für die also
f(a)=f(b) gilt.
==> a+2=b+2 ==> a=b.
Was sagt uns das? Sobald zwei Elemente auf dasselbe Element abgebildet werden, sind sie gleich.
Also ist die Funktion injektiv.
Versuche nun mal die beiden anderen Aufgaben.
Du kannst geren nachfragen.
Gruß v. Angela
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