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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
Guten morgen,
ich habe keine bestimmte Aufgabe, sondern habe ein paar Fragen, bzgl. der Eigenschaften von Matrizen.
alsoo
meistens müssen wir entscheiden ob Matrizen:
symmetrisch, schiefsymmetrisch, hermitesch, schiefhermitesch, orthogonal, unitaer, selbstadjungiert, normal oder diagonalisierbar sind.
symmetrisch und schiefsymmetrisch sind kein Problem.
Matrizen die: symmetrisch (aber nur reell), schiefsymmetrisch, hermitesch, schiefhermitesch, orthogonal oder unitaer sind, sind normal
normale Matrizen sind diagonalisierbar
hermitesch=selbstadjungiert
orthogonal: reelle Matrizen deren Spalten orthogonal zueiander sind. (ohne Null Vektor)
also waere die Matrix [mm] \pmat{1&0\\1&0} [/mm] nicht orthogonal
ist das bis hierhin richtig?
Das mit unitaer hab ich leider nicht verstanden :-S
Probleme habe ich auch mit hermitesch und schiefhermitesch. Hermitesch bedeutet doch, dass ich die Matrix transporniere und das Vorzeichen von dem imaginaerteil aendere. Wenn da die selbe Matrix entsteht, wie die Ausgangsmatrix, ist sie hermitesch. Die Hauptdiagonale wird aber nicht komplex konjugiert oder?
İch dachte jedoch, dass Matrizen mit reellen Eintraegen nicht hermitesch sein können. Jedoch ist die Matrix
[mm] \pmat{1&0\\0&1} [/mm] hermitesch.
warum?
Oder die Matrix: [mm] \pmat{0&i\\i&0} [/mm] ist schiefhermitesch
liegt es daran, dass ich die Matrix auch als
[mm] \pmat{0&0+i\\0+i&0} [/mm] schreiben kann und das, dass selbe ist wie: [mm] \pmat{0&-0+i\\-0+i&0}
[/mm]
würde mich sehr freuen, wenn mich jemand aufklaeren könnte
Lg
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> Guten morgen,
>
> ich habe keine bestimmte Aufgabe, sondern habe ein paar
> Fragen, bzgl. der Eigenschaften von Matrizen.
>
> alsoo
>
> meistens müssen wir entscheiden ob Matrizen:
>
> symmetrisch, schiefsymmetrisch, hermitesch,
> schiefhermitesch, orthogonal, unitaer, selbstadjungiert,
> normal oder diagonalisierbar sind.
>
> symmetrisch und schiefsymmetrisch sind kein Problem.
gut ;)
>
> Matrizen die: symmetrisch (aber nur reell),
> schiefsymmetrisch, hermitesch, schiefhermitesch, orthogonal
> oder unitaer sind, sind normal
>
> normale Matrizen sind diagonalisierbar
jap. man sagt auch normale matrizen sind unitär diagonalisierbar.
>
> hermitesch=selbstadjungiert
bingo.
>
> orthogonal: reelle Matrizen deren Spalten orthogonal
> zueiander sind. (ohne Null Vektor)
richtig. Um Matrizen kleineren Formates auf Orthogonalität zu überprüfen, kannst du auch zeigen , dass det(A) [mm] \in [/mm] {-1,1} ist. Das find ich persönlich geht sehr schnell und einfach.
>
> also waere die Matrix [mm]\pmat{1&0\\1&0}[/mm] nicht orthogonal
Richtig . Die Determinante ist Null, das sieht man daran z.b. dass die Matrix keinen vollen Rang hat.
>
>
> ist das bis hierhin richtig?
Soweit sogut^^
>
>
>
> Das mit unitaer hab ich leider nicht verstanden :-S
unitäre matrizen sind das komplexe Gegenstück zu orthogonalen Matrizen im reellen Fall. bei orthogonalen Matrizen im reellen Fall gilt ja [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] A^T [/mm] (transponierte), bei unitären im komplexen analog [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \overline{A}^T
[/mm]
>
> Probleme habe ich auch mit hermitesch und schiefhermitesch.
> Hermitesch bedeutet doch, dass ich die Matrix
> transporniere und das Vorzeichen von dem imaginaerteil
> aendere. Wenn da die selbe Matrix entsteht, wie die
> Ausgangsmatrix, ist sie hermitesch. Die Hauptdiagonale wird
> aber nicht komplex konjugiert oder?
einfach ausgedrückt es muss gelten : A = [mm] \overline{A}^T
[/mm]
die Hauptdiagonale wird sozusagen nicht komplex konjugiert, weil es eben auf der Hauptdiagonalen einer hermiteschen matrix nur reelle Werte gibt!
bei der schiefhermitschen ist es dann anders rum: Auf der hauptdiagonalen sind die Werte imaginär, und es muss gelten : A = - [mm] \overline{A}^T
[/mm]
hermitesch ist der komplexe analoge Fall zu symmetrischen Matrizen im reellen Fall.
>
> İch dachte jedoch, dass Matrizen mit reellen Eintraegen
> nicht hermitesch sein können. Jedoch ist die Matrix
>
> [mm]\pmat{1&0\\0&1}[/mm] hermitesch.
> warum?
Überprüfe es eben mit A = [mm] \overline{A}^T [/mm] . Es ist ja in dem Fall sehr einfach da du 0 * i komplex konjugierst, das ist aber wieder Null.
>
> Oder die Matrix: [mm]\pmat{0&i\\i&0}[/mm] ist schiefhermitesch
>
> liegt es daran, dass ich die Matrix auch als
>
> [mm]\pmat{0&0+i\\0+i&0}[/mm] schreiben kann und das, dass selbe ist
> wie: [mm]\pmat{0&-0+i\\-0+i&0}[/mm]
[mm] \pmat{0&i\\i&0} [/mm] := A, dann ist [mm] \overline{A}^T
[/mm]
:= [mm] \pmat{0& -i \\ -i & 0} [/mm] und - [mm] \overline{A}^T [/mm] = [mm] \pmat{0&i\\i&0} [/mm] = A
=> schiefhermitesch, da gilt A = - [mm] \overline{A}^T
[/mm]
>
> würde mich sehr freuen, wenn mich jemand aufklaeren
> könnte
>
> Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
vielen vielen dank für deine super ausführliche und zu dem noch freundliche Erklaerung!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Sa 28.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Guten morgen,
> >
> > ich habe keine bestimmte Aufgabe, sondern habe ein paar
> > Fragen, bzgl. der Eigenschaften von Matrizen.
> >
> > alsoo
> >
> > meistens müssen wir entscheiden ob Matrizen:
> >
> > symmetrisch, schiefsymmetrisch, hermitesch,
> > schiefhermitesch, orthogonal, unitaer, selbstadjungiert,
> > normal oder diagonalisierbar sind.
> >
> > symmetrisch und schiefsymmetrisch sind kein Problem.
> gut ;)
> >
> > Matrizen die: symmetrisch (aber nur reell),
> > schiefsymmetrisch, hermitesch, schiefhermitesch, orthogonal
> > oder unitaer sind, sind normal
> >
> > normale Matrizen sind diagonalisierbar
> jap. man sagt auch normale matrizen sind unitär
> diagonalisierbar.
> >
> > hermitesch=selbstadjungiert
> bingo.
> >
> > orthogonal: reelle Matrizen deren Spalten orthogonal
> > zueiander sind. (ohne Null Vektor)
> richtig. Um Matrizen kleineren Formates auf
> Orthogonalität zu überprüfen, kannst du auch zeigen ,
> dass det(A) [mm]\in[/mm] {-1,1} ist. Das find ich persönlich geht
> sehr schnell und einfach.
Toll ! Nur stimmt es nicht. Aus det(A) [mm]\in[/mm] {-1,1} folgt i.a. nicht, dass A orthogonal ist.
FRED
> >
> > also waere die Matrix [mm]\pmat{1&0\\1&0}[/mm] nicht orthogonal
>
> Richtig . Die Determinante ist Null, das sieht man daran
> z.b. dass die Matrix keinen vollen Rang hat.
> >
> >
> > ist das bis hierhin richtig?
>
> Soweit sogut^^
> >
> >
> >
> > Das mit unitaer hab ich leider nicht verstanden :-S
>
> unitäre matrizen sind das komplexe Gegenstück zu
> orthogonalen Matrizen im reellen Fall. bei orthogonalen
> Matrizen im reellen Fall gilt ja [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]A^T[/mm]
> (transponierte), bei unitären im komplexen analog [mm]A^{-1}[/mm] =
> [mm]\overline{A}^T[/mm]
> >
> > Probleme habe ich auch mit hermitesch und schiefhermitesch.
> > Hermitesch bedeutet doch, dass ich die Matrix
> > transporniere und das Vorzeichen von dem imaginaerteil
> > aendere. Wenn da die selbe Matrix entsteht, wie die
> > Ausgangsmatrix, ist sie hermitesch. Die Hauptdiagonale wird
> > aber nicht komplex konjugiert oder?
>
> einfach ausgedrückt es muss gelten : A = [mm]\overline{A}^T[/mm]
> die Hauptdiagonale wird sozusagen nicht komplex
> konjugiert, weil es eben auf der Hauptdiagonalen einer
> hermiteschen matrix nur reelle Werte gibt!
>
> bei der schiefhermitschen ist es dann anders rum: Auf der
> hauptdiagonalen sind die Werte imaginär, und es muss
> gelten : A = - [mm]\overline{A}^T[/mm]
>
> hermitesch ist der komplexe analoge Fall zu symmetrischen
> Matrizen im reellen Fall.
>
>
> >
> > İch dachte jedoch, dass Matrizen mit reellen Eintraegen
> > nicht hermitesch sein können. Jedoch ist die Matrix
> >
> > [mm]\pmat{1&0\\0&1}[/mm] hermitesch.
> > warum?
>
> Überprüfe es eben mit A = [mm]\overline{A}^T[/mm] . Es ist ja in
> dem Fall sehr einfach da du 0 * i komplex konjugierst, das
> ist aber wieder Null.
>
> >
> > Oder die Matrix: [mm]\pmat{0&i\\i&0}[/mm] ist schiefhermitesch
> >
> > liegt es daran, dass ich die Matrix auch als
> >
> > [mm]\pmat{0&0+i\\0+i&0}[/mm] schreiben kann und das, dass selbe ist
> > wie: [mm]\pmat{0&-0+i\\-0+i&0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{0&i\\i&0}[/mm] := A, dann ist [mm]\overline{A}^T[/mm]
> := [mm]\pmat{0& -i \\ -i & 0}[/mm] und - [mm]\overline{A}^T[/mm] =
> [mm]\pmat{0&i\\i&0}[/mm] = A
> => schiefhermitesch, da gilt A = - [mm]\overline{A}^T[/mm]
>
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> >
> > würde mich sehr freuen, wenn mich jemand aufklaeren
> > könnte
> >
> > Lg
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 So 29.07.2012 | | Autor: | wieschoo |
> > > orthogonal: reelle Matrizen deren Spalten orthogonal
> > > zueiander sind. (ohne Null Vektor)
> > richtig. Um Matrizen kleineren Formates auf
> > Orthogonalität zu überprüfen, kannst du auch zeigen ,
> > dass det(A) [mm]\in[/mm] {-1,1} ist. Das find ich persönlich geht
> > sehr schnell und einfach.
>
>
> Toll ! Nur stimmt es nicht. Aus det(A) [mm]\in[/mm] {-1,1} folgt
> i.a. nicht, dass A orthogonal ist.
>
> FRED
> > >
> > > also waere die Matrix [mm]\pmat{1&0\\
1&0}[/mm] nicht orthogonal
> >
> > Richtig . Die Determinante ist Null, das sieht man daran
> > z.b. dass die Matrix keinen vollen Rang hat.
Man könnte noch erwähnen, dass [mm]det(A)\neq 0[/mm] wenigstens eine notwendige Bedingung für orthogonale Matrizen A ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 So 29.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
noch eine Frage. Wir hatten mal eine Matrix wo wir die Eintraege a,b... so bestimmen sollten, dass die Matrix euklidisch ist. (leider habe ich die Aufgabe nicht gefunden). Sind euklidische Matrizen orthogonal? oder wie zeigt man so etwas?
Noch etwas: eine Matrix ist ja diagonalisierbar, wenn sie paarweise verschiedene EW hat. Das bedeutet doch, dass es nicht ausreicht, wenn ich einfach zwei verschiedene EW habe. İch muss auch die EV bestimmen und gucken ob alg. Vielfachheit und geo. Vielfachheit übereinstimmen oder?
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> Hallo,
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> noch eine Frage. Wir hatten mal eine Matrix wo wir die
> Eintraege a,b... so bestimmen sollten, dass die Matrix
> euklidisch ist. (leider habe ich die Aufgabe nicht
> gefunden). Sind euklidische Matrizen orthogonal? oder wie
> zeigt man so etwas?
Es gibt euklidische VR und die Spektralnorm von Matrizen, die ein wenig zu der euklidischen Norm passt. "Euklidische Matrizen" wären mir neu.
>
> Noch etwas: eine Matrix ist ja diagonalisierbar, wenn sie
> paarweise verschiedene EW hat.
Nein! Was machst du mit [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1} [/mm] ?
Du verwechselst hinreichend mit notwendig!
paarweise verschiedene EW => diagonalisierbar
> Das bedeutet doch, dass es
> nicht ausreicht, wenn ich einfach zwei verschiedene EW
> habe. İch muss auch die EV bestimmen und gucken ob alg.
> Vielfachheit und geo. Vielfachheit übereinstimmen oder?
Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix gibt, die zu ihr ähnlich ist.
Es gilt:
Matrix A diagonalisierbar => geometr. & algebr. Vielf. d. EW stimmen überein
gruß
wieschoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 So 29.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
Danke für deine Antwort:
> > Noch etwas: eine Matrix ist ja diagonalisierbar, wenn sie
> > paarweise verschiedene EW hat.
> Nein! Was machst du mit [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1}[/mm] ?
>
> Du verwechselst hinreichend mit notwendig!
die waere nicht diagonalisierbar da wir ein EW 1 mit alg. 2 aber geo. Vielfachheit 0 haben.
Was ich meine ist zum Beispiel:
[mm] \pmat{0&1&-\bruch{1}{2}\\1&0&\bruch{1}{2}\\0&0&-1}
[/mm]
EW: 1 mit alg. V. 1 und geo. V. 1 und EW: -1 alg. Vielfachheit 2 aber geometrischer 1
d.h. wir haben zwei verschiedene EW aber die Matrix ist nicht diagonalisierbar, da die alg. mit der geo. nicht übereinstimmt.
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> Danke für deine Antwort:
>
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> > > Noch etwas: eine Matrix ist ja diagonalisierbar, wenn sie
> > > paarweise verschiedene EW hat.
> > Nein! Was machst du mit [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1}[/mm] ?
> >
> > Du verwechselst hinreichend mit notwendig!
>
>
> die waere nicht diagonalisierbar da wir ein EW 1 mit alg. 2
> aber geo. Vielfachheit 0 haben.
Unfug! Das ist der Prototyp von Diagonalmatrizen!
>
> Was ich meine ist zum Beispiel:
>
> [mm]\pmat{0&1&-\bruch{1}{2}\\
1&0&\bruch{1}{2}\\
0&0&-1}[/mm]
>
> EW: 1 mit alg. V. 1 und geo. V. 1 und EW: -1 alg.
> Vielfachheit 2 aber geometrischer 1
>
> d.h. wir haben zwei verschiedene EW aber die Matrix ist
> nicht diagonalisierbar, da die alg. mit der geo. nicht
> übereinstimmt.
Ja hier ist es richtig.
Ich wiederhole mich gerne noch einmal. Es gilt:
Matrix A diagonalisierbar => geometr. & algebr. Vielf. d. EW stimmen überein
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