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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Welcher Zusammenhang besteht zwischen EIgenraum von A und den von [mm] A^{-1}, [/mm] falls A invertierbar ist?
Gehe auch auf geometrische und algebraische Vielfachheit ein |
Das mit dem EIgenwert habe ich schon gezeigt.(führe ich hier nicht mit beweis aus)
[mm] \lambda^{-1} [/mm] ist ein Eigenwert von [mm] A^{-1} [/mm] wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A ist.
ABer was pssiert mit dem Eigenraum?
[mm] E_{\lambda} [/mm] = [mm] ker(A-\lambda [/mm] I )
[mm] E_{\lambda^{-1}} [/mm] = [mm] ker(A^{-1} [/mm] - [mm] \lambda^{-1}I)=ker(A^{-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{\lambda}I)
[/mm]
??
Wo besteht ein Zusammenhang?
Allgemein
die algebraische Vielfachheit eines EW [mm] \lambda_i [/mm] ist die Vielfachheit von [mm] \lambda_i [/mm] als Nullstelle des char. Polynoms
die geometrische Vielfachheit eines [mm] EW\lambda_i [/mm] ist gleich der Dimension von [mm] E_{\lambda_i} [/mm] (Eigenraum)
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Das was du bisher weisst kannst du so im Zusammenhang bringen:
[mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert von A zum EIgenvektor v, dh. [mm] Av=\lambda*v [/mm] <=>
[mm] v=A^{-1}\lambda*v [/mm] <=> [mm] \lambda^{-1}v=A^{-1}v [/mm] D.h. [mm] E_{\lambda^{-1}} (A^{-1})=E_{\lambda}(A)
[/mm]
Was kannst du dann sofort über die geometrische Vielfachheit aussagen ;)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> Das was du bisher weisst kannst du so im Zusammenhang
> bringen:
> [mm]\lambda[/mm] ist Eigenwert von A zum EIgenvektor v, dh.
> [mm]Av=\lambda*v[/mm] <=>
> [mm]v=A^{-1}\lambda*v[/mm] <=> [mm]\lambda^{-1}v=A^{-1}v[/mm]
genauso habe ich meinen beweis gemacht zu: Wie die eigenwerte ausschauen zu [mm] A^{-1} [/mm] im Zusammenhang zu A
> dh [mm]E_{\lambda^{-1}} (A^{-1})=E_{\lambda}(A)[/mm]
Wieso folgt das?? Das verstehe ich so als Konsequenz nicht.
> Was kannst du
> dann sofort über die geometrische Vielfachheit aussagen
> ;)?
Wenn ich kapiert habe , dass die Eigenräume gleich sind, ja dann ist auch die dimension (also die geometrische Vielfachheit) gleich.
Was ist mit der algebraischen Vielfachheit?
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wir sind mit Äquivalenzumformungen von v [mm] \in E_{\lambda}(A), [/mm] bedeutet [mm] Av=\lambda*v [/mm] , nach [mm] v\in E_{\lambda^{-1}} (A^{-1}), [/mm] also [mm] \lambda^{-1}v=A^{-1}v [/mm] gekommen. Ich sag mal ganz sallop, dass sieht man dann aus dem Vergleich [mm] Av=\lambda*v [/mm] und dem hier [mm] \lambda^{-1}v=A^{-1}v [/mm] , dass sich mit den Eigenvektoren nichts geändert hat. Hilft dir das so, als Erklärung?
Mit der geometrischen Vielfachheit ast du richtig vertstanden, das stimmt :)! Was vermutest du denn für die algebraische Vielfachheit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Lu- |
ah danke, dir erklärung habe ich verstanden.
> Was vermutest du denn für die algebraische Vielfachheit?
also das ist die Vielfachheit von $ [mm] \lambda_i [/mm] $ als Nullstelle des char. Polynoms.
Ich weiß, wenn die Matrix diagonalisierbar ist, stimmt die algebraische Vielfachheit mit der geometrischen Viel fachheit überein.
Wenn A diagonalsierbar sind die algebraischen Vielfacheiten von A und [mm] A^{-1} [/mm] auch gleich. Aber sonst?
Hättest du eine bessere Idee?
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Hey, ich musste auch ein wenig überlegen wie man das begründen kann. Seit ihr schon weiter als Diagonalisierbarkeit, also habt ihr die Jordannormalform schon kennengelernt? Die algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda [/mm] und [mm] \lambda^{-1} [/mm] sind gleich, wie du vermutet hast.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:20 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo
Nein die Jordanformerl kam noch nicht wirklich dran. Also er hat davon geredet, dass wir sie bald lernen ;) Geht das ohne diese nicht? bzw. kannst du mir es erklären, wie du das begründest?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 01.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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