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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenraum
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Eigenraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:06 Mi 28.12.2011
Autor: fernweh

Aufgabe
Geben Sie für folgende Matrix F von [mm] $\IR^3$ [/mm] in sich alle Eigenwerte der Abbildungsmatrix an und eine Basis für jeden Eigenraum. Gibt es eine Basis, in welcher die Matrixdarstellung der Abbildung Diagonalform hat? Wenn ja, welche?

F: [mm] \pmat{ x_1 \\ x_2 \\ x_3} \mapsto \pmat{ x_1+x_2+x_3 \\ 2x_2+x_3 \\ 2x_2+3x_3} [/mm]

Hallo zusammen

Kann da mal jemand drüber schauen, ob ich das richtig verstanden habe (ich habe abundzu ein Durcheinander mit den Begriffen und Lösungen sind leider nicht vorhanden ...).

Es ist [mm] A=\pmat{1 && 1 && 1 \\ 0 && 2 && 1 \\ 0 && 2 && 3} [/mm]

Die verlangten Eigenwerte sind:
[mm] $\lambda_1=\lambda_2=1$ [/mm] und [mm] $\lambda_3=4$ [/mm] da [mm] det(A-\lambda*I)=-(\lambda -1)(\lambda-4)(\lambda-1)$ [/mm]

Die Eigenräumen sind somit durch die Eigenvektoren aufgespannt, und die Eigenvektoren sind somit die Basis für die jeweilige Basis, d.h.
Eigenraum für [mm] $\lambda=1$: $E_1=span\{\pmat{ 0 \\ -1 \\ 1}, \pmat{1 \\ 0 \\ 0}\}$ [/mm]
Eigenraum für [mm] $\lambda=4$: $E_4=span\{\pmat{ 1 \\ 1 \\ 2}\} [/mm]

Und zuletzt die Basis, in der die Matrixdarstellung der Abbildung Diagonalform hat, ist dann einfach die Basis mit den Eigenvektoren, d.h.
[mm] \pmat{ 0 \\ -1 \\ 1}, \pmat{1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{ 1 \\ 1 \\ 2} [/mm]
Dies ist möglich, weil die Matrix halbeifnach ist, d.h. die geometrische Vielfachkeit jeweils der algebraischen Vielfachkeit der Eigenwerte entspricht ...

Dann ist die Abbildungsmatrix
[mm] $A'=\pmat{1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 4} [/mm]
also in Diagonalform.

VIele Grsse und Danke schon im voraus!

        
Bezug
Eigenraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Mi 28.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo fernweh,


> Geben Sie für folgende Matrix F von [mm]\IR^3[/mm] in sich alle
> Eigenwerte der Abbildungsmatrix an und eine Basis für
> jeden Eigenraum. Gibt es eine Basis, in welcher die
> Matrixdarstellung der Abbildung Diagonalform hat? Wenn ja,
> welche?
>  
> F: [mm]\pmat{ x_1 \\ x_2 \\ x_3} \mapsto \pmat{ x_1+x_2+x_3 \\ 2x_2+x_3 \\ 2x_2+3x_3}[/mm]
>  
> Hallo zusammen
>  
> Kann da mal jemand drüber schauen, ob ich das richtig
> verstanden habe (ich habe abundzu ein Durcheinander mit den
> Begriffen und Lösungen sind leider nicht vorhanden ...).
>
> Es ist [mm]A=\pmat{1 && 1 && 1 \\ 0 && 2 && 1 \\ 0 && 2 && 3}[/mm] [ok]
>  
> Die verlangten Eigenwerte sind:
>  [mm]\lambda_1=\lambda_2=1[/mm][/mm] und [mm]\lambda_3=4[/mm][/mm] da
> [mm]det(A-\lambda*I)=-(\lambda -1)(\lambda-4)(\lambda-1)$[/mm] [ok]
>  
> Die Eigenräumen sind somit durch die Eigenvektoren
> aufgespannt, und die Eigenvektoren sind somit die Basis
> für die jeweilige Basis, d.h.
>  Eigenraum für [mm]\lambda=1[/mm]: [mm]E_1=span\{\pmat{ 0 \\ -1 \\ 1}, \pmat{1 \\ 0 \\ 0}\}[/mm] [ok]
>  
> Eigenraum für [mm]\lambda=4[/mm]: [mm] $E_4=span\{\pmat{ 1 \\ 1 \\ 2}\}[/mm] [/mm] [ok]
>  
> Und zuletzt die Basis, in der die Matrixdarstellung der
> Abbildung Diagonalform hat, ist dann einfach die Basis mit
> den Eigenvektoren, d.h.
>  [mm]\pmat{ 0 \\ -1 \\ 1}, \pmat{1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{ 1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>  
> Dies ist möglich, weil die Matrix halbeifnach ist, d.h.
> die geometrische Vielfachkeit jeweils der algebraischen
> Vielfachkeit der Eigenwerte entspricht ...
>  
> Dann ist die Abbildungsmatrix
>  [mm]$A'=\pmat{1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 4}[/mm]
>  also
> in Diagonalform.

Jo!

>  
> VIele Grsse und Danke schon im voraus!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Eigenraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:16 Mi 28.12.2011
Autor: fernweh

Hallo

VIelen Dank für deine prompte Antwort :)

Gruess

Bezug
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