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Hallo!
Ich habe nochmal Eigenwerte,-vektoren und -räume wiederholt. Mir ist allerdings noch unklar, wie ich einen Eigenraum zu einem Eigenvektor berechne. Angenommen ich habe die Eigenvektoren (1,0,3) und (5,6,7).
Wie sehe dazu der Eigenraum aus?
Würde mich über Eure Hilfe sehr freuen!
Es grüßt die Monsterzicke
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Hallo,
wenn du die Eigenvektoren schon berechnet hast, bist du deinem Ziel ganz nah. Der Eigenraum zu einem Eigenwert wird durch Eigenvektoren aufgespannt.
Du hast angenommen, die Eigenvektoren zu einem Eigenwert seien (1,0,3) und (5,6,7), meinst du damit, dass beide Vektoren zu einem Eigenwert gehören, oder hat jeder Eigenvektor auch "seinen" Eigenwert?
Wenn beide Vektoren zu einem Eigenwert gehören, wird der Eigenraum dann vom Span (oder der linearen Hülle) dieser Vektoren aufgespannt. Man schreibt dafür ja auch <(1,0,3),(5,6,7)> oder span{(1,0,3),(5,6,7)}. Das bedeutet, dass in dieser Menge alle Vielfachen der Vektoren enthalten sind. Die Eigenvektoren sind gleichzeitig auch eine Basis für deinen Eigenraum. In diesem Fall hättest du also einen zweidimensionalen Eigenraum.
Wenn es zu jedem Vektor einen eigenen Eigenwert gibt, funktioniert das im Prinzip aber genauso. Der einzige Unterschied ist, dass du natürlich zwei Eigenräume hast, die jeweils eindimensional sind, da in deinen Basen, bzw. linearen Hüllen, nur jeweils ein Vektor enthalten ist.
Ich hoffe, das hilft dir weiter, ansonsten einfach weiter fragen 
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Vielen Dank! Das, was du geschrieben hast, habe ich soweit verstanden und nachvollziehen können. Wenn nun aber die Eigenvektoren gleichzeitig auch eine Basis zu meinem Eigenraum bilden, wie lautet dann der Eigenraum, also wie schreibe ich das nun richtig auf?
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Vielleicht kannst du mir auch nochmal erklären, wie genau man die Eigenvektoren berechnet? Wäre sehr, sehr lieb :o)
Ich weiß,. dass ich dafür die Eigenwerte, die ich zuvor berechnet habe für [mm] \lambda [/mm] einsetzen muss, und danach ein homogenes GS austellen muss. In der Form [mm] (A-\lambda [/mm] In)x aber dann????
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Fr 30.03.2007 | | Autor: | dena |
Schau dir mal dieses Beispiel an:
![[]](/images/popup.gif) Link-Text
s. Anhang
lg dena
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: ppt) [nicht öffentlich]
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sorry, aber das verstehe ich nicht.
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Mein Problem ist halt auch, wie ich erstmal auf die eigenvektoren komme, wenn ich die eigenwerte habe. Mit der transponierten Matrix haben wir das allerdings nie vorher gerechnet, um auf die eigenwerte zu kommen.
Ich bräuchte also am besten Hilfe zu den eigenvektoren und dann zu den entsprechenden Eigenräumen. Danke schonmal!
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Hallo nochmal,
also ich versuche mal, so eine Art Kochrezept aufzustellen... dazu muss ich bemerken, dass ich auch erst seit ein paar Wochen mit dem Thema zu tun habe und noch nicht in die Tiefe gegangen bin. Für eine detailierte Erklärung, wie man Eigenvektoren berechnet, sollte es trotzdem reichen.
Beginnen wir nochmal ganz am Anfang und machen das gleich an einem Beispiel, ich denke dann ist es am anschaulichsten:
Sei [mm] A=\pmat{ 2 & 3 & 6 \\ 0 &-1 &-6 \\-1 &-1 & 1 }
[/mm]
Von dieser Matrix wollen wir die Eigenräume berechnen.
Dazu brauchen wir zunächste die Eigenwerte. Das fasse ich nur kurz zusammen, du sagtest ja, das hättest du verstanden (ansonsten einfach nachfragen): Wir berechnen [mm] det(A-\lambda \* E_3) [/mm] um das charakteristische Polynom zu erhalten. Dabei ist [mm] E_3 [/mm] die 3x3-Einheitsmatrix.
Die Determinante rechnet sich leicht mit der Sarrus-Regel aus, man kann aber auch andere Verfahren benutzen, z.B. Laplace', Blockmatrix oder einfaches umformen auf Zeilenstufenform.
Das charakteristische Polynom lautet also:
[mm] x^3-2x^2-x+2
[/mm]
Um die Eigenwerte zu bestimmen errechnest du die Nullstelen dieses Polynoms.
[mm] x_1=-1
[/mm]
[mm] x_2= [/mm] 1
[mm] x_3= [/mm] 2
Zu jedem Eigenwert wollen wir jetzt den Eigenraum berechnen, ich mach es mal am Beispiel von [mm] x_1=-1
[/mm]
Wir stellen zunächst die folgende Matrix auf: A - [mm] x_1 \*E_3
[/mm]
Dabei ist [mm] E_3 [/mm] wieder die 3x3-Einheitsmatrix, die mit -1 multipliziert wird. diese Matrix ziehen wir dann von A ab also:
[mm] $\pmat{ 2 & 3 & 6 \\ 0 &-1 &-6 \\-1 &-1 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 &-1 & 0 \\ 0 & 0 &-1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 &-6 \\-1 &-1 & 2 }$
[/mm]
Um den Eigenraum zu berechnen, musst du die entstandene Matrix einfach gleich Null setzen und daa LGS lösen. Ich weiß nicht so genau, wie ich das mit dem Formeleditor schreiben soll, deshalb lass ich zwischen der Matrix und der Null-Spalte einen | vertikalen Srich, damit du weißt was gemeint ist.
[mm] \pmat{ 3 & 3 & 6 | 0 \\ 0 & 0 &-6 | 0 \\-1 &-1 & 2 | 0 }
[/mm]
So, das LGS ist ja leicht zu lösen, dabei wird eine Zeile wegfallen und du bekommst eine freie Variable. Ich schreib dir den letzten Schritt nochmal auf:
[mm] \pmat{-1 &-1 & 1 | 0 \\ 0 & 0 & 1 | 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_2=\lambda
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_3= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow x_1=-\lambda
[/mm]
Du hast jetzt also ein von [mm] \lambda [/mm] abhängiges Ergebnis, im Prinzip ist das der "Span" oder die "lineare Hülle" die deinen Eigenraum aufspannt. Das heißt ja im Prinzip nichts anderes, als das alle Vielfachen deines Vektors [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] in der Menge enthalten sind.
Alles was du noch brauchst, kannst du jetzt ablesen:
Der Eigenvektor zum Eigenwert [mm] x_1=-1 [/mm] ist [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und dein Eigenraum wird durch genau diesen Vektor aufgespannt. Man schreibt [mm] span{\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}} [/mm] oder [mm] <\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}>.
[/mm]
Damit hast du nun Eigenvektor und Eigenraum zum ersten Eigenwert...
Ich hoffe, du kannst mit meinem Kochrezept was anfangen...
Grüße, schnecki
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Hmmm...ich bekomme da irgenwie was anderes raus nach der zeilenumformumg. Bei mir fällt die dritte Zeile weg und wird komplett zu Null. Kann auch sein, dass ich irgendwie blöd bin, aber bei mir steht da
[mm] \pmat{ 3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 6 } [/mm]
Da ist dann noch etwas, was ich nicht verstehe: wie kommst du jetzt auf deinen Eigenvektor??? Und diese Lamdas verwirren mich irgendwie total....
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Hi,
> Hmmm...ich bekomme da irgenwie was anderes raus nach der
> zeilenumformumg. Bei mir fällt die dritte Zeile weg und
> wird komplett zu Null. Kann auch sein, dass ich irgendwie
> blöd bin, aber bei mir steht da
> [mm]\pmat{ 3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 6 }[/mm]
Also bis auf seltsame Vorzeichen ist das auch das gleiche... ich schreib dir mal meine Rechenschritte auf:
[mm] \pmat{ 3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 &-6 \\-1 &-1 & 1 } [/mm] zuerst tausche ich die 1. und 3.
Zeile, dann wirds leichter:
[mm] \pmat{-1 &-1 & 1 \\ 0 & 0 &-6 \\ 3 & 3 & 6 } [/mm] jetzt 1. Zeile [mm] \*3 [/mm] und dann + 3. Zeile, du bekommst also
[mm] \pmat{-1 &-1 & 1 \\ 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 6 } [/mm] dann habe ich 2. und 3. Zeile jeweils durch 9 bzw. duch 6 geteilt, bei homogenen Gleichungssystemen (also wenn in der Lösungsspalte, die wir hier gerade immer weglassen immer nur Nullen stehen), ist das ja kein Problem... dann ziehe ich von der 3. zeile nochmal die 2. Zeile ab, damit die 3. Zeile wegfällt:
[mm] \pmat{-1 &-1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
jetzt könntest du dir ja theoretisch deine Stufen in das LGS einzeichnen... dann erkennst du dass [mm] x_2, [/mm] also die mittlere Spalte, frei wählbar ist...
> Da ist dann noch etwas, was ich nicht verstehe: wie kommst
> du jetzt auf deinen Eigenvektor??? Und diese Lamdas
> verwirren mich irgendwie total....
Zu den [mm] \lambda's: [/mm] wenn du möchtest, kannst du [mm] x_2 [/mm] jetzt auch als 1 wählen oder was immer du schön findest, du wirst dann auch einen Eigenvektor finden (wenn du [mm] x_2=1 [/mm] wählst auch den gleichen, den ich dir angegeben habe), unter Umständen wird er aber andere Einträge haben. Das ist allerdings bei uns in Klausuren und Übungen nicht gerne gesehen, außerdem ist gerade die Eigenschaft, dass man eine Variable frei wählen kann, das also auch alle Vielfachen des Vektors eine Rolle spielen (nämlich im Eigenraum), in diesem Fall sehr wichtig... das [mm] \lambda [/mm] ist also einfach nur eine Variable, steht für einen beliebigen Skalar.
Mal angenommen, wir wählen jetzt [mm] x_2=\lambda=1, [/mm] also direkt ene konkrete Zahl, dann können wir das über das LGS weiter ausrechnen. In der unteren Zeile steht ja nur [mm] 1x_3=0, [/mm] das wäre also schonmal klar... in der oberen Zeile steht dann [mm] -1x_1-1x_2+1x_3=0 [/mm] da können wir einfach einsetzen was wir schon kennen also für [mm] x_2=1 [/mm] und [mm] x_3=0 [/mm] dann erhalten wir [mm] x_1=-1. [/mm] Diese Werte sind praktisch dein Vektor: [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}, [/mm] da brauchst du die Zahlen nur einsetzen, dann hast du deinen Eigenvektor.
In diesem Fall hatten wir ja [mm] x_2 [/mm] frei gewählt, wenn wir [mm] x_2=2 [/mm] gewählt hätten, hätten wir einen anderen (linear abhängigen) Vektor bekommen, die Einträge hätten sich jeweils verdoppelt... genau das ist die Funktion des [mm] \lambda [/mm] 's, denn wenn du statt einer konkreten Zahl [mm] x_2=\lambda [/mm] wählst, kann man direkt sehen, dass dieser Vektor von einem Parameter abhängt...
Das [mm] \lambda [/mm] sorgt dann am Ende auch dafür, dass der Eigenraum aufgespannt wird, denn durch das [mm] \lambda [/mm] sind ja alle vielfachen des Vektors in der Menge enthalten... ich schreibs nochmal als Menge auf:
Eigenraum zu x=1: ${ [mm] \lambda \* \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] }$ das ist eine andere Schreibweise für den Span, den ich ja schon erwähnt hatte...
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