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| Aufgabe | Beweisen Sie :
Ist A regulär, dann besitzen A und A^-1 die selben Eigenräume. |
Hi,
meine einzige Idee ist, es über die chara. Polynomen zu zeigen, in dem ich von deinem auf den Anderen kommen, Aber das klappt nicht wirklich. Hat jemand vielleicht eine andere Idee?
Snafu
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> Beweisen Sie :
> Ist A regulär, dann besitzen A und A^-1 die selben
> Eigenräume.
> Hi,
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> meine einzige Idee ist, es über die chara. Polynomen zu
> zeigen, in dem ich von deinem auf den Anderen kommen, Aber
> das klappt nicht wirklich. Hat jemand vielleicht eine
> andere Idee?
>
Hallo,
ja, ich hätt' da eine Idee:
zeige, daß jeder Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] auch ein Eigenvektor von [mm] A^{-1} [/mm] ist. (Zu welchem Eigenwert?).
Gruß v. Angela
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Hi,
ich würde es dann so machen:
Sei [mm] \lambda [/mm] der EW von A und v der dazugehörige Eigenvektor, so gilt
(A- [mm] \lambda [/mm] I ) v = 0
Av - [mm] \lambda [/mm] I v = 0
Av = [mm] \lambda [/mm] I v
einsetzen von v in Kern(A^-1 [mm] -\lambda [/mm] I) :
hier weiß ich nicht weiter denn ist [mm] \lambda [/mm] denn Überhaupt ein Eigenwert von A^-1 , das weiß ich doch nicht, oder?
Snafu
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> Hi,
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> ich würde es dann so machen:
> Sei [mm]\lambda[/mm] der EW von A und v der dazugehörige
> Eigenvektor, so gilt
> (A- [mm]\lambda[/mm] I ) v = 0
> Av - [mm]\lambda[/mm] I v = 0
> Av = [mm]\lambda[/mm] I v
> einsetzen von v in Kern(A^-1 [mm]-\lambda[/mm] I) :
> hier weiß ich nicht weiter denn ist [mm]\lambda[/mm] denn
> Überhaupt ein Eigenwert von A^-1 , das weiß ich doch
> nicht, oder?
Hallo,
es sei also v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
Dann ist [mm] Av=\lambda [/mm] v.
Nun ist A invertierbar.
Dann multipliziere doch mal mit [mm] A^{-1}...
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hi,
irgendwie komme ich nicht auf das gewünschte Ergebnis.
Av = [mm] \lambda [/mm] v
[mm] A^{-1} [/mm] Av = [mm] A^{-1} \lambda [/mm] v
Iv = [mm] A^{-1} \lambda [/mm] v
[mm] \bruch{v}{\lambda} [/mm] = [mm] A^{-1 } [/mm] v
Snafu
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> Hi,
>
> irgendwie komme ich nicht auf das gewünschte Ergebnis.
Auf welches?
> Av = [mm]\lambda[/mm] v
> [mm]A^{-1}[/mm] Av = [mm]A^{-1} \lambda[/mm] v
> Iv = [mm]A^{-1} \lambda[/mm] v
> [mm]\bruch{v}{\lambda}[/mm] = [mm]A^{-1 }[/mm] v
Hallo,
ich lese hieraus jetzt
v ist auch Eigenvektor von [mm] A^{-1}, [/mm] und zwar zum Eigenwert [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] .
das ist doch gar nicht so unerwünscht, denn ich erfahre hieraus:
jeder Vektor des Eigenraums von A zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] liegt im Eigenraum von [mm] A^{-1} [/mm] zum Eigenwert [mm] \bruch{1}{\lambda}.
[/mm]
Was wünschst Du Dir von Deinen Vektoren?
Gruß v. Angela
>
>
> Snafu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 So 07.02.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hey,
ach stimmt. Somit besitzen A und [mm] A^{-1} [/mm] die selben Eigenräume zu jeweils den inversen Eigenwerten.
Snafu
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