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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Sa 30.01.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3}
[/mm]
alle reellen Eigenwerte
und die dazugehörigen Eigenräume! |
Also Eigenwerte hab ich bestimmt mit
[mm] \lambda_1= [/mm] -3
[mm] \lambda_2= [/mm] 3
[mm] \lambda_3= [/mm] -1
Nun zu den Eigenvektoren:
[mm] V(\lambda_1) [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & -2 & 0 \\ -2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = 0
So nun normalerweise brauch ich ja immer eine Nullzeile oder Spalte..die habe ich ja nun.
Dann setze ich ja z.B. x3= eine Variable und rechne dann meinen Eigenvektor aus bzw. auch dann den Eigenraum..
Wie gehe ich hier vor wenn ich eine Nullspalte und Nullzeile habe..
X3=0 eigentlich...und dass der Nullvektor null ergibt ist ja klar, aber welcher noch?
Danke
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> Bestimmen Sie für die Matrix
> A = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3}[/mm]
>
> alle reellen Eigenwerte
> und die dazugehörigen Eigenräume!
> Also Eigenwerte hab ich bestimmt mit
>
> [mm]\lambda_1=[/mm] -3
> [mm]\lambda_2=[/mm] 3
> [mm]\lambda_3=[/mm] -1
>
> Nun zu den Eigenvektoren:
>
> [mm]V(\lambda_1)[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & -2 & 0 \\ -2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Hallo,
diese Matrix bringst Du nun erstmal auf Zeilenstufenform
[mm] -->\pmat{ 4 & -2 & 0 \\ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Die führenden Zeilenelemente stehen in Salte 1 und 2, also kannst Du die dritte Variable frei wählen:
>
> Dann setze ich ja z.B. x3= eine Variable und rechne dann
> meinen Eigenvektor aus bzw. auch dann den Eigenraum..
[mm] x_3=t
[/mm]
Aus Zeile 2:
[mm] x_2=0
[/mm]
Aus Zeile 1:
[mm] 4x_1=0+2x_2=0, [/mm] also
[mm] x_1=0.
[/mm]
Damit haben die Vektoren des Eigenraumes zu -3 die Gestalt [mm] t*\vektor{0\\0\\1}, [/mm] somit ist [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] eine basis des Eigenraumes.
>
> Wie gehe ich hier vor wenn ich eine Nullspalte und
> Nullzeile habe..
> X3=0 eigentlich...
Nein. davon steht nirgens was.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 31.01.2010 | | Autor: | zocca21 |
Okay, super Danke.
Nun hab ich für [mm] \lambda_2 [/mm] =3
den Eigenraum v* [mm] \vektor{-1 \\ 1\\ 0 }
[/mm]
Bei [mm] \lambda_3 [/mm] =1
den Eigenraum v* [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 0 }
[/mm]
Hoffe das stimmt...
Wenn ich nun eine Matrix in Diagonalform erhalten würde und also keine Nullzeile erstellen könnte, wie würde ich dann auf die Eigenvektoren kommen?
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> Okay, super Danke.
>
> Nun hab ich für [mm]\lambda_2[/mm] =3
> den Eigenraum v* [mm]\vektor{-1 \\ 1\\ 0 }[/mm]
>
> Bei [mm]\lambda_3[/mm] =1
> den Eigenraum v* [mm]\vektor{1 \\ 1\\ 0 }[/mm]
>
> Hoffe das stimmt...
Hallo,
ja.
>
> Wenn ich nun eine Matrix in Diagonalform erhalten würde
> und also keine Nullzeile erstellen könnte, wie würde ich
> dann auf die Eigenvektoren kommen?
Du meinst, wenn Du den Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ausgerechnet hast, und [mm] A-\lambda [/mm] E dann vollen Rang hat?
Das wird nicht passieren, es sei denn Du hast irgendwas falsch gerechnet.
Gruß v. Angela
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