Eig.vektor inverser Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Di 12.02.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | Beantworten Sie die folgenden Fragen (und begründen Sie Ihre Antwort).
(a) Gibt es ein reelles Polynom f(x) vom Grad [mm] \le [/mm] 2, so dass f(1) = 2, f(2) = -1 und f(3) = 4?
(b) Die Matrix B [mm] \in M_{3,3}(\IR) [/mm] habe ganzzahlige Einträge. Sind die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von B dann auch ganzzahlig.
(c) Sei K ein Körper, A [mm] \in GL_{n}(K) [/mm] eine invertierbare Matrix und es sei v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Ist v auch Eigenvektor der inversehn Matrix [mm] A^{-1}? [/mm] Wenn ja, zu welchem Eigenwert?
(d) Ist jede quadratische Matrix diagonalisierbar über [mm] \IC?
[/mm]
(e) Im reellen Vektorraum [mm] \IR^{\IN} [/mm] aller Folgen betrachten wir die "Einheitsfolgen" [mm] e_{i}, [/mm] die ander i-ten Position eine 1 und an allen anderen Positionen eine 0 haben. Ist das System [mm] (e_{i})_{i\in\IN} [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] \IR^{\IN}? [/mm] |
Ich habe mehrere Fragen zu den Teilaufgaben.
(a) ist wahr, es existiert ein Polynom: f(x) = [mm] 4x^{2} [/mm] - 15x + 13
(b) ist auch wahr, aber wie zeige ich dies schnell? Ich habe eine bel. Matrix aufgestellt also mit den Einträgen a,b,c, ... und dann das charakteristische Polynom berechnet und davon abgelesen, dass die Koeffizienten ebenfalls ganzzahlig sind. Geht dies noch schneller/"schöner"?
(c) v ist ebenfalls ein Eigenvektor von [mm] A^{-1} [/mm] und zwar zum Eigenwert [mm] \lambda^{-1}, [/mm] aber warum?
bei (d) und (e) habe ich leider gar keinen Ansatz.
Viele Grüße
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Hallo.zu der c)
Es existiert doch eine Basis aus Eigenvektoren sodass [mm] Av=\lambda{}v [/mm] gilt,
multiplizier mal von Links mit [mm] A^{-1} [/mm] und schau was passiert.
zu der d) solltest du eine Matrix finden wo das nicht der Fall ist.
bei der e) lässt sich zeigen das die [mm] e_i e_j [/mm] linear unabhängig sind für i [mm] \not= [/mm] j
damit hast du ein erzeugendensystem
Gruß helicopter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:10 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Bei e) muß ich helicopter widersprechen:
$ [mm] (e_{i})_{i\in\IN} [/mm] $ ist kein Erzeugendensystem !
Z.b: lässt sich (1,1,1,1,......) nicht als Linearkombination der [mm] e_i [/mm] darstellen.
FRED
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