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| Aufgabe | Es seien die Punkte A ( 1/1/0), B (-1/2/1) und C ( 2 / -2 / 3) gegeben.
c) Es gibt eine eindeutig bestimmte Ebene E, in welcher alle drei Punkte liegen. Geben Sie für E eine Ebenengleichung in Parameter- und eine Ebenegleichung in Koordiantenform an. |
Moin moin zusammen,
mir erscheint die Lösung zu einfach, als dass sie richtig sein kann ;)
E [mm] \vec{x}= \vektor{1\\1\\0} [/mm] + r [mm] \vektor{-1\\2\\1} [/mm] + s [mm] \vektor{2\\-2\\3}
[/mm]
Meine Überlegung war diese:
Die drei Punkte MÜSSEN ja laut Aufgabenstellung innerhalb der Ebene E liegen, daher ist es doch naheliegen einfach die drei Punkte als Stützpunkt und Richungsvektoren zu verwenden... oder liege ich da komplett falsch? ...
Bitte um eure Hilfe und vielen Dank, auch für frühere Hilfeleistungen :)
Gruß,
Die Gruene_Fee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Mi 02.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es seien die Punkte A ( 1/1/0), B (-1/2/1) und C ( 2 / -2 /
> 3) gegeben.
>
> c) Es gibt eine eindeutig bestimmte Ebene E, in welcher
> alle drei Punkte liegen. Geben Sie für E eine
> Ebenengleichung in Parameter- und eine Ebenegleichung in
> Koordiantenform an.
> Moin moin zusammen,
>
>
> mir erscheint die Lösung zu einfach, als dass sie richtig
> sein kann ;)
>
> E [mm]\vec{x}= \vektor{1\\
1\\
0}[/mm] + r [mm]\vektor{-1\\
2\\
1}[/mm] + s
> [mm]\vektor{2\\
-2\\
3}[/mm]
>
> Meine Überlegung war diese:
>
> Die drei Punkte MÜSSEN ja laut Aufgabenstellung innerhalb
> der Ebene E liegen, daher ist es doch naheliegen einfach
> die drei Punkte als Stützpunkt und Richungsvektoren zu
> verwenden... oder liege ich da komplett falsch? ...
Ganz so einfach ist es in der Tat nicht.
Eine Parameterform einer durch die Punkte P, Q und R gegebenen Ebene ist:
[mm] E:\vec{x}=\vec{p}+\lambda\cdot\overrightarrow{PQ}+\mu\cdot\overrightarrow{PR}
[/mm]
Natürlich kannst du auch Q oder R als Stützpunkt nehmen.
Deine Richtungsvektoren sind also hier falsch.
>
> Bitte um eure Hilfe und vielen Dank, auch für frühere
> Hilfeleistungen :)
>
> Gruß,
> Die Gruene_Fee
Marius
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wow, danke für die schnelle Antwort!
Mh, also ich dachte mir schon das es nicht ganz so einfach sein kann :)
Kannst du mir noch einen Denkanstoß geben wie ich die Richtungsvektoren finde? In meinem Lernheft habe ich leider nichts passendes gefunden. Höchstens wie man die Spannvektoren einer zur Ebene E senkrecht stehenden Geraden findet.... wäre das vielleicht ein Anfang?
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Hallo,
nehmen wir zwei Punkte A und B, dann seien [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] die Ortsvektoren dieser Punkte. Das bedeutet also, dass die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] die gleichen Koordinaten besitzen wie die zugehörigen Punkte, denn Ortsvektoren haben im Unterschied zu gewöhnlichen Vektoren eine Lage: sie beginnen stets im Koordinatenursprung.
Wenn wir nun denjenigen Vektor berechnen wollen, der von A nach B zeigt, und diesen mit [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] bezeichnen wollen, dann gilt folgender Zusammenhang:
[mm] \overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}
[/mm]
Das müsste ganz zu Beginn der Vektorrechnung behandelt worden sein, und wenn du es nicht mehr weißt, dann solltest du diese Basics in deinem eigenen Interesse nochmals gründlich nacharbeiten.
Gruß, Diophant
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Ok, ich denke ( und hoffe ) ich habe das verstanden.
Ausgerechnet wäre dann meine Ebene E in Parameterform:
E : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\0}+ r*\vektor{-2\\1\\1}+s*\vektor{1\\-3\\3}
[/mm]
oh je, ist das richtig?
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Hallo GrueneFee,
> Ok, ich denke ( und hoffe ) ich habe das verstanden.
>
> Ausgerechnet wäre dann meine Ebene E in Parameterform:
>
> E : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\0}+ r*\vektor{-2\\1\\1}+s*\vektor{1\\-3\\3}[/mm]
>
> oh je, ist das richtig?
Ja, das ist eine mögliche Lösung.
Bleibt noch die Aufgabe mit der Koordinatenform. Weißt du, wie du vorgehen musst, und vor allem, was für eine Bedeutung die Gleichung hat?
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Super, freut mich sehr, dass das eine mögliche richtige Antwort ist :)
Also meine Ebene E in Koordinatenform würde so aussehen:
E [mm] \vec{x}: [/mm] -0,2x1+1,4x2+x3=2,6
Meine Rechnung dazu:
E [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] + [mm] r\* \vektor{-2\\1\\1} [/mm] + [mm] s\* \vektor{1\\-3\\3}
[/mm]
x1= 1-2r+s
x2= 1+r-3s
x3= 0 + r + 3s
Umgestellt nach r:
2r = 1 + s - x1 [mm] \Rightarrow [/mm] r = 0,5 + 0,5s - 0,5x1
Eingesetzt in x2 und x3:
x2 = 1,5 - 2,5s + 0,5 x1
x3 = 0,5 + 3,5s - 0,5x1
x2 nach S aufgelöst :
s = 0,6 + 0,2x1 - 0,4x2
In x3 eingesetzt:
x3= 2,6+0,2x1-1,4x2
Und jetzt noch umgestellt :
-0,2x1+1,4x2+x3=2,6
Stimmt das? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Do 03.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Super, freut mich sehr, dass das eine mögliche richtige
> Antwort ist :)
>
> Also meine Ebene E in Koordinatenform würde so aussehen:
>
> E [mm]\vec{x}:[/mm] -0,2x1+1,4x2+x3=2,6
Das stimmt so nicht. Der Normalenvektor, den du aus dieser Koordinatenform ablesen kannst, steht nicht senkrecht auf den Richtungsvektoren, das muss er aber. Tut er das, hast du mit großer Wahrscheinlichkeit korrekt gerechnet.
>
> Meine Rechnung dazu:
>
> E [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1\\
1\\
0}[/mm] + [mm]r\* \vektor{-2\\
1\\
1}[/mm] + [mm]s\* \vektor{1\\
-3\\
3}[/mm]
>
> x1= 1-2r+s
> x2= 1+r-3s
> x3= 0 + r + 3s
Du hast dir hier den kompliziertesten Weg vorgenommen, den du hier nutzen kannst, du hast aus Gleichung 1 die einzige Variabe eliminert, bei der ein Koeffizient vorhanden ist.
Wenn du schon mit Gleichung 1 beginnst, löse diese doch nach s auf, dann musst du nicht noch dividieren, es gilt:
[mm] s=x_{1}-1+2r
[/mm]
Ersetze damit dann s in den anderen beiden Gleichungen, die Klammern aber nicht vergessen.
Dieses Gleichungen kannst du besser mit dem Additionsverfahren lösen.
[mm]\begin{vmatrix}x= 1-2r+s\\
y= 1+r-3s\\
z= 0 + r + 3s\end{vmatrix}[/mm]
[mm]\stackrel{I\cdot3}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}3x= 3-6r+3s\\
y= 1+r-3s\\
z= 0 + r + 3s\end{vmatrix}[/mm]
[mm]\stackrel{I+II;I-III}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}3x= 3-6r+3s\\
3x+y= 4-5r\\
3x-z=3-7r\end{vmatrix}[/mm]
[mm]\stackrel{II\cdot7;III\cdot5}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}3x= 3-6r+3s\\
21x+7y= 28-35r\\
15x-5z=15-35r\end{vmatrix}[/mm]
[mm]\stackrel{II-III}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}3x= 3-6r+3s\\
21x+7y= 28-35r\\
7x+7y+5z=7\end{vmatrix}[/mm]
>
> Umgestellt nach r:
>
> 2r = 1 + s - x1 [mm]\Rightarrow[/mm] r = 0,5 + 0,5s - 0,5x1
>
> Eingesetzt in x2 und x3:
>
> x2 = 1,5 - 2,5s + 0,5 x1
> x3 = 0,5 + 3,5s - 0,5x1
>
> x2 nach S aufgelöst :
>
> s = 0,6 + 0,2x1 - 0,4x2
>
> In x3 eingesetzt:
hier hast du vermutlich Klammern vergessen.
>
> x3= 2,6+0,2x1-1,4x2
>
> Und jetzt noch umgestellt :
>
> -0,2x1+1,4x2+x3=2,6
>
> Stimmt das? :)
Das Einsetzungsverfahren ist für Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen nicht unbedingt geeignet, dafür gibt es den  Gauß-Algorithmus, dieser ist auch bei ![[]](/images/popup.gif) Arndt Brünner hervorragend erklärt.
Eine kleine Bitte noch. Setze die Indizes doch bitte in die Tiefe, du bist inzwischen lange genug dabei, dass du die ein oder andere Formel auch mit dem Formeleditor aufstellen kannst. Das erhöht die Lesbarkeit (und damit auch die Hilfsbereitschaft) ungemein.
Marius
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Morgen,
mh naja, ich habe einfach den Weg genommen, welcher auch in meinem Lernheft erklärt wird. Eigentlich hätte ich selbst drauf kommen können das Gauß-Verfahren anzuwenden, aber ok... beim nächsten Mal ;)
Jedoch sehe ich nicht, wie ich bei deiner letzten Matrix weiter machen muss/sollte? Bzw. wäre denn ( auch wenn es der umständlichste Weg war), mein Ergebnis richtig?
Ich werde mir Mühe geben, alles was mit dem Formeleditor machbar ist auch umzusetzen :)
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Weshalb überhaupt den umständlichen Weg über den Gauß-Algorithmus gehen?
Über die Normalengleichung gelangst du doch viel schneller an die Koordinatenform der Ebene:
Bei gegebener Ebene
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{p} [/mm] + [mm] r*\vec{r} +s*\vec{s}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{-2 \\ 1 \\ 1} +s*\vektor{1 \\ -3 \\ 3}
[/mm]
ist der Normalenvektor der Ebene doch einfach das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren [mm] \vec{r} [/mm] und [mm] \vec{s}:
[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vec{r} \times \vec{s}
[/mm]
Die Normalenform lautet also:
E: [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p} [/mm] ] * [mm] \vec{r}\times\vec{s} [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] E: [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p} [/mm] ] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0
Daraus lässt sich dann ganz leicht die Koordinatenform ermitteln:
E: [mm] n_1(x_{1} [/mm] - [mm] p_1) [/mm] + [mm] n_2(x_2 [/mm] - [mm] p_2) [/mm] + [mm] n_3(x_3 [/mm] - [mm] p_3) [/mm] = 0
...noch ausklammern und zusammenfassen und du wärst fertig.
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Das klingt nach einer wunderbaren Lösungsmöglichkeit :)
So, ich habe mich also hingesetzt und erst einmal das Kreuzprodukt ausgerechnet... wäre bei mir dann [mm] \vektor{0\\7\\5}
[/mm]
Dann hab ich mir nochmal die Formel aufgeschrieben und festgellt das ich ja gar nicht weiß was ich für [mm] \vec{x} [/mm] einsetzen muss?
Es heißt doch n1(x1-p1)...... aber woher weiß ich denn was x1, x2 usw. ist?
:/
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Hallo GrueneFee,
> Das klingt nach einer wunderbaren Lösungsmöglichkeit :)
>
> So, ich habe mich also hingesetzt und erst einmal das
> Kreuzprodukt ausgerechnet... wäre bei mir dann
> [mm]\vektor{0\\7\\5}[/mm]
>
Hier meinst Du wohl [mm]\vektor{\red{6}\\7\\5}[/mm]
> Dann hab ich mir nochmal die Formel aufgeschrieben und
> festgellt das ich ja gar nicht weiß was ich für [mm]\vec{x}[/mm]
> einsetzen muss?
>
[mm]\vec{x}[/mm] ist ein Punkt auf der Ebene.
> Es heißt doch n1(x1-p1)...... aber woher weiß ich denn
> was x1, x2 usw. ist?
>
[mm]x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}[/mm] läßt Du so stehen.
> :/
Gruss
MathePower
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Ups, natürlich muss es 6 und nicht 0 heißen. Böse Vorzeichen ;)
So, hab das mal ausgerechnet und folgendes herausbekommen :
5x3 + 7x2 + 6x1 - 13 = 0
Stimmt das?
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Hallo GrüneFee!
Das sieht gut aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber vielleicht noch etwas sortieren zu:
$E \ : \ [mm] 6*x_1+7*x_2+5*x_3 [/mm] -13 \ = \ 0$
Gruß vom
Roadrunner
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