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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Di 06.11.2007 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | | Beschreiben Sie die Gerade [mm] \left\{ (1,0,0) + s (1, -1, 1) s \in\IR\right\} [/mm] im [mm]\IR^3 [/mm]als Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems. |
Hallo Leute
Vielleicht ist die Lösung zu einfach... aber ich komm einfach net drauf.
Verstehe die Aufgabe so, dass ich 2 Ebenengleichungen aufstellen soll, die als Schnittgerade die angegebene Gleichung haben, also die Lösungsmenge in dieser Form ist. Aber wie bekomm ich die zwei Ebenengleichungen? Ich kann für beide Ebenen den selben Stützvektor der Geraden nehmen und auch den selben Richtungsvektor. Wie muss ich die anderen Richtungsvektoren bestimmen, so dass sie die Schnittgeradengleichung erfüllen und zudem noch lin. unabhängig sind?
lg dorix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Di 06.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Dorix
Wenn ich das richtig interpretiere sollst du einen Vektor [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] finden, der vom Parameter s abhängig ist, und auf der Geraden g liegt:
Schreiben wir mal die Gerade ein wenig um.
g:
[mm] \vec{x}=\vektor{1\\0\\0}+s\vektor{1\\-1\\1}
[/mm]
[mm] =\vektor{1\\0\\0}+\vektor{s\\-s\\s}
[/mm]
[mm] =\vektor{1+s\\-s\\s}
[/mm]
Und genau das ist ein Vektor mit dem Parameter s, der definitiv auf der Geraden g liegt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Di 06.11.2007 | | Autor: | dorix |
Danke für die schnelle Antwort...
aber ich kann mir nicht vorstellen, wie das klappen könnte.
Ich dachte mir es eigentlich so:
z.B. Ebene 1:
[mm] \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} ?\\ ? \\ ?\end{pmatrix} [/mm]
und Ebene 2:
[mm] \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} ?\\ ? \\ ?\end{pmatrix} [/mm]
d.h., den Richtunsvektor der Schnittgeraden haben beide Ebenen. Damit sie sich aber schneiden brauche ich zwei linear unabhängige V. [mm]\vec s [/mm] für E1 und [mm]\vec v [/mm] E2. Verstehst du mein Problem?
lg dorix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Di 06.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo dorix,
deine Gedanken sind völlig richtig und sehr schön.
> [mm]\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} ?\\ ? \\ ?\end{pmatrix} [/mm]
> und Ebene 2:
> [mm]\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} ?\\ ? \\ ?\end{pmatrix} [/mm]
> d.h., den Richtunsvektor der Schnittgeraden haben beide
> Ebenen. Damit sie sich aber schneiden brauche ich zwei
> linear unabhängige V. [mm]\vec s[/mm] für E1 und [mm]\vec v[/mm] E2.
> Verstehst du mein Problem?
Ich sehe, wo du stehst, verstehe aber nicht, was für ein Problem du noch siehst, nachdem du schon alle Hürden genommen hast.
Alles was du noch brauchst, sind 2 Richtungsvektoren je einen für jede Ebene. Probier doch einfach mal (1,0,0) und (0,1,0). Die lineare Unabhängikeit der Richtungsvektoren untereinander ist für jede Ebene jeweils offensichtlich. Sicherzustellen ist nur noch, daß die Ebenen nicht identisch sind. Das siehst du aber auch sehr schnell.
Danach wandelst du in Koordiantenform um und hast das gewünschte LGS.
Gruß
Will
PS: Ohne dich frustrieren zu wollen: Es ging wesentlich einfacher! Aber ich denke dein Weg ist eben dein Weg und du hast die Aufgabe damit auch gelöst
x = 1 + 1s
y = 0 - 1s
z = 0 + 1s
z für s einsetzen:
x = 1 + z
y = -z
also:
1x + 0y - 1z = 1
0x + 1y + 1z = 0 ist das gesuchte LGS
das wars.
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