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Hallo zusammen!
Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe. Ich rechne gerade alte Klausuren durch, bei denen auch die zu erreichende Punktezahl angegeben ist. Nur verunsichert mich, dass es auf diese Aufgabe 10 Punkte und das macht mich etwas stutzig, da sie eigentlich ganz schnell zu lösen ist.
Also, es handelt sich um folgende Aufgabe:
Im [mm] R^3 [/mm] sind die Quadrik Q: [mm] 2*x_2^2+5*x_1*x_3-2=0 [/mm] und die Ebene F: [mm] 2*x_1-x_3=0 [/mm] gegeben. Weisen sie nach, dass die Schnittkurve von Q und F ein Kreis mit Mittelpunkt (0/0/0) ist. Welchen Radius hat der Kreis?
Ich habe bisher das gerechnet:
[mm] x_3=2*x_1
[/mm]
in Q eingesetzt:
[mm] 2*x_2^2+10*x_1^2-2=0
[/mm]
[mm] 5*x_1^2+x_2^2=1
[/mm]
Allgemeine Form von einem Kreis:
[mm] (x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2=r^2
[/mm]
Also kann ich, wenn ich die beiden Formen vergleiche, ablesen, dass der Mittelpunkt (0/0/0) ist und der Radius 1 beträgt? Oder vertue ich mich da völlig?
Ich weiß nicht, wie ich es anders rechnen könnte. Ich habe schon versucht, den gemischten Term bei der Quadrik zu eleminieren (mit Eigenwerten und so) aber da bin ich auf keine richtige Lösung gekommen.
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen...
Grüße
Sunshine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, sunshine,
> Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe. Ich rechne gerade
> alte Klausuren durch, bei denen auch die zu erreichende
> Punktezahl angegeben ist. Nur verunsichert mich, dass es
> auf diese Aufgabe 10 Punkte und das macht mich etwas
> stutzig, da sie eigentlich ganz schnell zu lösen ist.
>
> Also, es handelt sich um folgende Aufgabe:
>
> Im [mm]R^3[/mm] sind die Quadrik Q: [mm]2*x_2^2+5*x_1*x_3-2=0[/mm] und die
> Ebene F: [mm]2*x_1-x_3=0[/mm] gegeben. Weisen sie nach, dass die
> Schnittkurve von Q und F ein Kreis mit Mittelpunkt (0/0/0)
> ist. Welchen Radius hat der Kreis?
>
> Ich habe bisher das gerechnet:
>
> [mm]x_3=2*x_1[/mm]
> in Q eingesetzt:
> [mm]2*x_2^2+10*x_1^2-2=0[/mm]
> [mm]5*x_1^2+x_2^2=1[/mm]
Also für mich sieht das erst mal aus wie eine Ellipse in der [mm] x_{1}x_{2}-Ebene!
[/mm]
Andererseits geht das ja aber gar nicht, da das Schnittgebilde ja in der Ebene F liegen muss, nicht in der [mm] x_{1}x_{2}-Ebene.
[/mm]
> Allgemeine Form von einem Kreis:
> [mm](x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2=r^2[/mm]
Problem: Das gilt nur für Kreise in der [mm] x_{1}x_{2}-Ebene; [/mm] Du musst nun überlegen, welche Gleichung ein Kreis in der vorgegebenen Ebene hat!
Leider komm' ich da im Moment auch nicht auf eine vernünftige Lösung!
mfG!
Zwerglein
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Hi, sunshine,
> Ich habe bisher das gerechnet:
>
> [mm]x_3=2*x_1[/mm]
> in Q eingesetzt:
> [mm]2*x_2^2+10*x_1^2-2=0[/mm]
> [mm]5*x_1^2+x_2^2=1[/mm]
Jetzt habe ich eine Idee!
Das Besondere am Kreis ist, dass alle Punkte vom Mittelpunkt (hier (0;0;0)) denselben Abstand haben!
Welche Koordinaten haben nun die Punkte des Schnittgebildes?
(i) [mm] x_3=2*x_1
[/mm]
(ii) [mm] 5*x_1^2+x_2^2=1 [/mm] <=> [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \pm\wurzel{1-5x_{1}^{2}}
[/mm]
Setzen wir [mm] x_{1}=k, [/mm] so ergibt sich folgende Punktmenge:
[mm] P_{k}(k; \pm\wurzel{1-5k^{2}}; [/mm] 2k)
Und nun rechnen wir den Abstand dieser Punkte zu (0;0;0) aus:
[mm] \overline{OP_{k}} [/mm] = [mm] \wurzel{k^{2} + (\pm\wurzel{1-5k^{2}})^{2} + (2k)^{2}} [/mm] = 1 (!!!!)
Na also!
mfG!
Zwerglein
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Ach stimmt ja, die Quadrik stellt ja eine Ellipse dar.
Aber wie kommst du auf die Punktmenge?
Wenn du den Abstand berechnest, wie kommst du da auf 1?
Ich kann da leider nicht ganz folgen...
Könnest du mir das nochmal genauer ausführen? Ich steh grad irgendwie auf'm Schlauch.
Gäbe es auch noch einen anderen Weg?
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oh sorry...
hab's geschnallt, wie du auf Abstand 1 kommst!
Aber gibt es noch einen anderen Weg?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, sunshine,
> hab's geschnallt, wie du auf Abstand 1 kommst!
>
> Aber gibt es noch einen anderen Weg?
Ehrlich gesagt bin ich froh, dass ich DIESEN Wege gefunden hab'!
Vielleicht gibt's noch einen anderen, aber die Tatsache, dass in der Aufgabenstellung der Mittelpunkt des Kreises vorgegeben ist, lässt mich daran zweifeln! In einer allgemeinen Kreisgleichung ließe sich der Mittelpunkt ja ebenso wie der Radius leicht ablesen!
mfG!
Zwerglein
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Der eine Weg ist schon ok. Hätte mich nur interessiert, ob man es auch noch anders lösen könnte.
Nochmals danke für die schnelle und gute Antwort!
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 26.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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