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Forum "Uni-Stochastik" - E((X-c)^2) endlich
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E((X-c)^2) endlich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Do 10.01.2013
Autor: triad

Aufgabe
Sei X eine diskrete Zufallsvariable, so dass [mm] E(X^2)<\infty. [/mm] Zeige, dass für jedes [mm] c\in\IR [/mm] gilt, dass [mm] E((X-c)^2)<\infty. [/mm] Bestimme dann c so, dass [mm] E((X-c)^2) [/mm] minimal ist.

Hallo.

Ich habe zunächst die Funktion ausmultipliziert und die Linearität des Erwartungswertes benutzt

[mm] E((X-c)^2) [/mm] = [mm] E(X^2-2cX+c^2) [/mm] = [mm] E(X^2)-2cE(X)+c^2. [/mm]

[mm] E(X^2)<\infty [/mm] gilt schon n.V., kann man daraus folgern, dass auch [mm] E(X)<\infty [/mm] ist, oder wie kann man hier sonst die Ungleichung zeigen?

[mm] E((X-c)^2) [/mm] ist minimal für c=E(X): [mm] E(X^2)-2cE(X)+c^2 [/mm] = [mm] E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X)^2 [/mm] = [mm] E(X^2)-2E(X)^2+E(X)^2 [/mm] = [mm] E(X^2)-E(X)^2. [/mm] Aber warum ist das der minimale Wert?


gruß triad

        
Bezug
E((X-c)^2) endlich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Do 10.01.2013
Autor: luis52


> Sei X eine diskrete Zufallsvariable, so dass [mm]E(X^2)<\infty.[/mm]
> Zeige, dass für jedes [mm]c\in\IR[/mm] gilt, dass
> [mm]E((X-c)^2)<\infty.[/mm] Bestimme dann c so, dass [mm]E((X-c)^2)[/mm]
> minimal ist.
>  Hallo.
>  
> Ich habe zunächst die Funktion ausmultipliziert und die
> Linearität des Erwartungswertes benutzt
>  
> [mm]E((X-c)^2)[/mm] = [mm]E(X^2-2cX+c^2)[/mm] = [mm]E(X^2)-2cE(X)+c^2.[/mm]
>  
> [mm]E(X^2)<\infty[/mm] gilt schon n.V., kann man daraus folgern,
> dass auch [mm]E(X)<\infty[/mm] ist,  

Ja.

>  
> [mm]E((X-c)^2)[/mm] ist minimal für c=E(X): [mm]E(X^2)-2cE(X)+c^2[/mm] =
> [mm]E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X)^2[/mm] = [mm]E(X^2)-2E(X)^2+E(X)^2[/mm] =
> [mm]E(X^2)-E(X)^2.[/mm] Aber warum ist das der minimale Wert?

  
Leite mal nach $c$ ab ...

vg Luis





Bezug
                
Bezug
E((X-c)^2) endlich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Fr 11.01.2013
Autor: triad

Hi und danke für deine Antwort.

> > Sei X eine diskrete Zufallsvariable, so dass [mm]E(X^2)<\infty.[/mm]
> > Zeige, dass für jedes [mm]c\in\IR[/mm] gilt, dass
> > [mm]E((X-c)^2)<\infty.[/mm] Bestimme dann c so, dass [mm]E((X-c)^2)[/mm]
> > minimal ist.
>  >  Hallo.
>  >  
> > Ich habe zunächst die Funktion ausmultipliziert und die
> > Linearität des Erwartungswertes benutzt
>  >  
> > [mm]E((X-c)^2)[/mm] = [mm]E(X^2-2cX+c^2)[/mm] = [mm]E(X^2)-2cE(X)+c^2.[/mm]
>  >  
> > [mm]E(X^2)<\infty[/mm] gilt schon n.V., kann man daraus folgern,
> > dass auch [mm]E(X)<\infty[/mm] ist,  
>
> Ja.
>  
> >  

> > [mm]E((X-c)^2)[/mm] ist minimal für c=E(X): [mm]E(X^2)-2cE(X)+c^2[/mm] =
> > [mm]E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X)^2[/mm] = [mm]E(X^2)-2E(X)^2+E(X)^2[/mm] =
> > [mm]E(X^2)-E(X)^2.[/mm] Aber warum ist das der minimale Wert?
>    
> Leite mal nach [mm]c[/mm] ab ...
>  
> vg Luis
>  
>

Nagut, wenn ich [mm] E(X^2)-2cE(X)+c^2 [/mm] nach c ableite erhalte ich [mm] (E(X^2)-2cE(X)+c^2)' [/mm] = 2c-2E(X). Nullsetzten liefert die Lösung: 2c-2E(X)=0 [mm] \gdw [/mm] 2c=2E(X) [mm] \gdw [/mm] c=E(X).
Aber warum erhalte ich das gerade durch Ableiten und warum ist das dann jenes c für das ich das Minimum erhalte?


gruß triad

Bezug
                        
Bezug
E((X-c)^2) endlich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Fr 11.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo triad,



> > >  

> > > [mm]E((X-c)^2)[/mm] ist minimal für c=E(X): [mm]E(X^2)-2cE(X)+c^2[/mm] =
> > > [mm]E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X)^2[/mm] = [mm]E(X^2)-2E(X)^2+E(X)^2[/mm] =
> > > [mm]E(X^2)-E(X)^2.[/mm] Aber warum ist das der minimale Wert?
>  >    
> > Leite mal nach [mm]c[/mm] ab ...
>  >  
> > vg Luis
>  >  
> >
>
> Nagut, wenn ich [mm]E(X^2)-2cE(X)+c^2[/mm] nach c ableite erhalte
> ich [mm](E(X^2)-2cE(X)+c^2)'[/mm] = 2c-2E(X). Nullsetzten liefert
> die Lösung: 2c-2E(X)=0 [mm]\gdw[/mm] 2c=2E(X) [mm]\gdw[/mm] c=E(X).
>  Aber warum erhalte ich das gerade durch Ableiten und warum
> ist das dann jenes c für das ich das Minimum erhalte?

Du kannst das doch als Funktion in der Variable c auffassen, also [mm]f(c)=E[X^2]-2cE[X]+c^2[/mm]

Und wie man Extrema einer Funktion besimmt, weißt du seit der Mittelstufe ...

Prüfe auch noch, ob der gefundene Kandidat [mm]c[/mm] auch wirklich eine Minimalstelle ist ...


>  
>
> gruß triad

LG

schachuzipus


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