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EX und V(X) einer Normalvert.: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	16:52 Sa 21.01.2006
Autor:	Fry

Aufgabe

 Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz einer [mm] N(\mu,\sigma)-verteilten [/mm] Zufallsgröße. 

Das Integral der Gaußfunktion kann man ja mit gewöhnlichen Mitteln nicht bestimmen. Deshalb hab ich eine Funktionsuntersuchung der Gaußfunktion auf Maxima durchgeführt und es ergibt sich als Maximum [mm] \mu. [/mm] Darf ich dann daraus schlußfolgern EX = [mm] \mu [/mm] ? Wie siehts denn mit der Varianz aus ?
Kann ich die über V(X) = EX² - (EX)² bestimmen ? Wie kann ich EX²berechnen ?
Danke :)
Fry

Bezug

EX und V(X) einer Normalvert.: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:22 Sa 21.01.2006
Autor:	Astrid

Hallo Fry,

zunächst mal etwas Grundsätzliches:
Wer fast 40 Frageartikel hat - wie du - der sollte wissen, dass hier im Forum eine Begrüßung gern gesehen wird. Außerdem freut man sich als freiwillig Helfender über Feedback zu einer Antwort - das ist doch nur fair, oder nicht? :-)

> Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz einer
> [mm]N(\mu,\sigma)-verteilten[/mm] Zufallsgröße.
> Das Integral der Gaußfunktion kann man ja mit gewöhnlichen
> Mitteln nicht bestimmen. Deshalb hab ich eine
> Funktionsuntersuchung der Gaußfunktion auf Maxima
> durchgeführt und es ergibt sich als Maximum [mm]\mu.[/mm] Darf ich
> dann daraus schlußfolgern EX = [mm]\mu[/mm] ?

Nein, das Maximum gibt dir keinerlei Aussage über den Erwartungswert. (siehe z.B. die

Exponentialverteilung.

Aber: Wenn deine Dichtefunktion symmetrisch zu einem Wert (z.B. [mm] $\mu$?) [/mm] verteilt ist, dann gilt [mm] $E(X)=\mu$. [/mm] (Vorausgesetzt der Erwartungswert existiert.) Du mußt zeigen:

[mm] $f(\mu+x)=f(\mu-x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm]

> Wie siehts denn mit
> der Varianz aus ?
> Kann ich die über V(X) = EX² - (EX)² bestimmen ? Wie kann
> ich EX²berechnen ?

Besser du berechnest $var(X)$ direkt über das Integral mit dem Wissen, dass

[mm]\int_{-\infty}^{\infty}x^2 \cdot e^{-\bruch{x^2}{2}} \, dx = \wurzel{2 \pi}[/mm]
und durch Substitution von:

[mm] $u(x)=\bruch{x-\mu}{\sigma}$. [/mm]

Viele Grüße
Astrid