EP, Wp und Integralrechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallooo...
Es geht um folgendes... Haben Hausaufgaben bekommen zum üben für die anstehende Matheklausur...
Habs auch gemacht, nur bin mir leider nicht sicher, ob es richtig ist, bzw konnte manches auch leider nicht... Hilfe wäre echt supi... Also...:
Die Kostmerikfirma "lipnature", die sich auf die Produktion von Lippenpflegeprodukten spezialisiert hat, möchte ein neues Firmeslogo entwerden. Die PR-Abteilung der Firma schlägt dem Vorstand vor, dem neuen Firmenlogo die Form eines "Kussmundes" zu verleihen. Die Umrandung der Oberlippe entspricht dem Graphen einer achsensymmetrischen Fukntion vierten Grades [mm] (f_1), [/mm] welche an der Stelle [mm] x_0=4 [/mm] eine Nullstelle und an der Stelle [mm] x_E= [/mm] -2 ein relatives Extremum besitzt. Zudem schneidet der Graph die y-Achse an der [mm] y_s=2. [/mm] Für die Randlinie der Unterlippe soll der Graph einer quadratischen Funktion [mm] f_2 [/mm] benutzt werden, die durch die Funktionsgleichung [mm] f_2(x)= \bruch{1}{8}x²-2 [/mm] gegeben ist.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion [mm] f_1, [/mm] welche die Randlinie der Oberlippe beschreibt....
=>Wusste nicht wie ich auf die Gleichung komme...
(Jedoch war drunter zur kontrolle gegeben: [mm] f_1(x)=- \bruch{1}{64}x^4+\bruch{1}{8}x²+2...
[/mm]
Nur wie komme ich dadrauf??
b)Bestimmen Sie die gemeinsamen Schnittpunkte der Funktion [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2.
[/mm]
=>hab ich versucht die zwei Funktionen gleichzusetzten, also [mm] f_1(x) [/mm] = [mm] f_2(x)... [/mm] Aber bin irgendwann nicht weiterkommen, weil [mm] f_1(x) [/mm] eine Funktion 4. Grades ist... ?!
c)Bestimmen sie alle relativen Extrempunkte sowie Wendepunkte der Funktion [mm] f_1.
[/mm]
=>1. [mm] f_1'(x) [/mm] geblidet.
2. [mm] f_1'(x) [/mm] = 0
3. die werte in die Ausgangsfunktion eingesetzt wo ich dann [mm] f_1(x)=2\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] f_1(x_1)=2 \bruch{1}{4} [/mm] raushabe.
d)Skizzieren sie das Firmenlogo.
=>Das hat durch [mm] f_1(x) [/mm] und [mm] f_2(x) [/mm] sogar problemllos geklappt^^
e)Berechnen Sie den Flächeninhalt des "kussmundes".
=> Das wollte ich mit der Integralrechnung machen...
Nur hab ich halt [mm] \integral_{-4}^{4} f(x)\,dx [/mm] genommen...wobei ich dann halt 0 raushatte... Welches integral soll ich da denn nun anwenden?
Erst von -4 bis 0 und dann + das von 0 bis 4? Und außerdem, die Fläche oben und unten ist ja verschieden groß, wie mach ich das ? =(
f) Die PR-Ableitung der Kosmetikfirma schlägt vor, den Firmennamen "lipnature" als Schriftzug so in den Kussmund zu integrieren, dass er in einem Rechteck zwischen der x-Achse und der Unterlippenrandlinie erscheint. Berechnen Sie die Maße des entsprechenden Rechtecks maximalen Flächeninhalts und geben Sie zudem die Flächenmaßzahl an.
=>da bin ich leider garnich voran gekommen =(
g)Die Fläche des in Teilaufgabe f) ermittelten Rechtecks reicht nicht aus, um den Firmennamen angemessen darin unterbringen zu können. Nun soll die Gleichung, welche die Unterlippenrandlinie beschreibt, derart verändert werden, dass die Nullstellen bei [mm] x_0= \pm4 [/mm] erhalten bleiben, aber die Lage des Scheitelpunkts auf der y-Achse variieren kann. Zeigen Sie, dass alle möglichen Unterlippenrandlinien durch eine allgemeine Fukntion [mm] f_k [/mm] mit [mm] f_k(x)= [/mm] kx²-16k [mm] (k\in\\R\sub^>^0 [/mm] ) wiedergegeben werden kann.
=>Bin ich leider auch zu keinem Ergebnis gekommen... =(
Über Hilfe würd ich mich echt freuen....
Liebe grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:19 Sa 10.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Ich werd dir mal bei Aufgabe a helfen.
Das ganze soll eine Funktion vierten Grades werden, also von der Form
[mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
[/mm]
Sozusagen hast du 5 Parameter, die du ermitteln musst.
Dafür brauchst du jetzt auch 5 Gleichungen und die stehen in der Vorraussetzung.
[mm] x_{0}=4 \Rightarrow [/mm] 256a+64b+16c+4d+e=0
[mm] x_{E}=-2 \Rightarrow [/mm] 64a-24b+8c-2d=0 (-2 in die Ableitung eingesetzt)
f(0)=2 [mm] \Rightarrow [/mm] e=2
Das ganze sind jetzt zwar nur 3 Bedingungen, aber wenn ich mir die Lösung anschaue ist klar, dass man hier von einer symmetrischen Lippe ausgehen muss (steht zwar nicht in der Aufgabe, was irgendwie blöd ist, aber sonst wäre es nicht eindeutig lösbar). Symmetrie bedeutet f(x)=f(-x) und das geht nur, wenn die ungeraden Teile [mm] x^3 [/mm] und x wegfallen [mm] \Rightarrow [/mm] b=d=0
Jetzt kannst du die Anfangsgleichung ganz einfach mit deinem Taschenrechner lösen. Lineares Gleichungssystem mit 3 unbekannten.
Noch schnell die b)
[mm] -\bruch{1}{64}x^4+\bruch{1}{8}x^2+2=\bruch{1}{8}x^2-2
[/mm]
Umgeformt sieht das so aus:
[mm] \bruch{1}{64}x^4-4=0
[/mm]
[mm] x^4=256
[/mm]
[mm] x_{0}=4
[/mm]
Sorry aber jetzt hab ich keine Lust mehr weiterzumachen.
Ich schau mir das morgen früh nochmal an, wenn sich noch kein anderer bereiterklärt hat.
Grüße
Max
|
|
|
| |
|
Hey...
Viel Dank erstmal...
Also b) hab ich jetzt verstanden...
aber bei a) verstehe ich iwie nicht wie ich mit den 3 Bedingungen und mit dem linearen Gleichungssytem auf [mm] f(x)=-\bruch{1}{64}x^4+\bruch{1}{8}x²+2 [/mm] komme... Hab das mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren versucht, wobei ich aber iwann auch nicht weiterkam....
Liebe Grüße...
|
|
|
| |
|
Hallo albafreak,
> Hey...
>
> Viel Dank erstmal...
> Also b) hab ich jetzt verstanden...
>
> aber bei a) verstehe ich iwie nicht wie ich mit den 3
> Bedingungen und mit dem linearen Gleichungssytem auf
> [mm]f(x)=-\bruch{1}{64}x^4+\bruch{1}{8}x²+2[/mm] komme... Hab das
> mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren versucht, wobei
> ich aber iwann auch nicht weiterkam....
>
Die Kostmerikfirma "lipnature", die sich auf die Produktion von Lippenpflegeprodukten spezialisiert hat, möchte ein neues Firmeslogo entwerden. Die PR-Abteilung der Firma schlägt dem Vorstand vor, dem neuen Firmenlogo die Form eines "Kussmundes" zu verleihen. Die Umrandung der Oberlippe entspricht dem Graphen einer achsensymmetrischen Fukntion vierten Grades $ [mm] (f_1), [/mm] $ welche an der Stelle $ [mm] x_0=4 [/mm] $ eine Nullstelle und an der Stelle $ [mm] x_E= [/mm] $ -2 ein relatives Extremum besitzt. Zudem schneidet der Graph die y-Achse an der $ [mm] y_s=2. [/mm] $
das ist eine typische  Steckbriefaufgabe.
Wie man sie löst, findest du heraus, wenn du auf den Link oben klickst...
[mm] f_1(x)=ax^4+bx^2+c [/mm] (die ungeraden Exponenten fehlen, weil die Funktion achsensymmetrisch sein soll.)
Dem Text entnimmst du weiter:
[mm] f_1(4)=0 [/mm] -> Nullstelle
[mm] f_1'(-2)=0 [/mm] -> Extremstelle
[mm] f_1(0)=2 [/mm] -> Schnittpunkt mit y-Achse
Du hast also ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen für drei Koeffizienten, das daher lösbar sein sollte.
Wo liegt also dein Problem? Wenn wir mit dir auf Fehlersuche gehen sollen, musst du uns schon deine Rechnung hier zeigen...
Gruß informix
|
|
|
|
