E-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Führe eine Kurvendiskussion für [mm] f(x)=e^{-x^{2}} [/mm] durch ! |
Hallo zusammen^^
Also bevor ich hier mit der Kurvendiskussion loslege,würde ich gern wissen,ob meine Ableitungen so stimmen,da ich mit der e-Funktion noch nicht so sicher bin.
[mm] f'(x)=-2x*e^{-x^{2}}
[/mm]
[mm] f''(x)=-2e^{-x^{2}}+4x^{2}-2x*e^{-x^{2}}
[/mm]
[mm] f'''(x)=-2x*-2e^{-x^{2}}+8x--2e^{-x^{2}}+4x^{2}-2x*e^{-x^{2}} [/mm]
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mi 29.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
Produktregel ist genau richtig.
Du hast doch
[mm] g(x):=f'(x)=-2x\cdot{}e^{-x^{2}}=u(x)*v(x).
[/mm]
Produktregel besagt:
[mm] \math{g'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)}.
[/mm]
Also
[mm] f''(x)=-2*e^{-x^{2}}+(-2x)*(-2x*e^{-x^{2}})=-2*e^{-x^{2}}+4x^2*e^{-x^{2}} [/mm]
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Also
>
> [mm]f''(x)=-2*e^{-x^{2}}+(-2x)*(-2x*e^{-x^{2}})=-2*e^{-x^{2}}+4x^2*e^{-x^{2}}[/mm]
>
Ok,danke ich hab meinen Fehler gefunden,ich hab jetzt mal die 3.Ableitung versucht:
[mm] f'''(x)=-4x*e^{-x^{2}}+8x*e^{-x^{2}}-8x^{3}*e^{-x^{2}} [/mm] ?
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Hallo, kleiner Vorzeichenfehler, der 1. Summand hat das Vorzeichen +, wir leiten [mm] -2*e^{-x^{2}} [/mm] ab der Faktor -2 bleibt erhalten, die Ableitung vom Exponenten ist -2x, also [mm] -2*(-2x)*e^{-x^{2}}=4x*e^{-x^{2}}, [/mm] dann kannst du den 1. und 2. Summanden noch zusammenfassen und [mm] e^{-x^{2}} [/mm] ausklammern,Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,danke für eure Hilfe,jetzt hab ich mal mit der Kurvendiskussion angefangen und habe gemerkt,dass ich mit dieser Zahl e überhaupt nicht klar komme.Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Also:
[mm] Definitionsbereich:x\in\IR
[/mm]
1.Symmetrie:
f(x)=f(-x)
[mm] e^{-x^{2}}\not e^{x^{2}} [/mm] --> keine Achsensymmetrie
f(-x)=-f(-x)
[mm] e^{x^{2}}\not e^{-x^{2}} [/mm] --> keine Punktsymmetrie
Das komische ist aber,dass der Graph doch eigentlich achsensymmetrisch sein muss,weil da ein quadrat drin ist,aber irgendwie krieg ich das nciht raus???
2.Nullstellen
[mm] e^{-x^{2}}=0
[/mm]
Ich weiß nicht wie ich die Nullstellen ausrechnen soll.Ausklammern,Polynomdivision,pq-Formel geht hier ja nicht ???
3.Extrema
Hoch-Tiefpunkte:
[mm] -2x*e^{-x^{2}}=0
[/mm]
Also ich wieß nicht genau,wie ich das formal aufschreiben kann,aber dieser Ausdruck wird ja nur 0,wenn x=0 ist,also setze ich 0 in f''(x) ein
[mm] f''(0)=-2*e^{-0^{2}}+4*0^{2}*e^{-0^{2}}=-2e
[/mm]
Das heit also -2e<0 ---> Hochpunkt (0/1) ???
Tiefpunkte gibt es also keine.
3.Wendepunkte:
f''(x)=0
[mm] -2*e^{-x^{2}}+4*x^{2}*e^{-x^{2}}=0
[/mm]
Also diese Gleichung hat keine Nullstellen,also auch keine Wendepunkte,aber auch hier weiß ich nicht wie ich das am besten aufschreiben soll.
4.Polstellen: Hier gibt es keine definitionslücke
5.Asymptoten:
Gibt es bei solchen Funktionen überhaupt Asymptoten?Ich weiß nicht,wie ich die berechnen solltem Division geht ja nicht ?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
0) Definitionsbereich:
korrekt
1) Symmetrie:
die Funktion ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse, es gilt f(x)=f(-x)
[mm] e^{-x^{2}}=e^{-(-x)^{2}}=e^{-x^{2}}
[/mm]
2) Nullstellen:
die Funktion hat keine Nullstellen, bedenke hier e-Funktion, [mm] e^{...}=0
[/mm]
3) Maximum/Minimum:
es gilt [mm] f'(x)=-2x*e^{-x^{2}}=0, [/mm] du kennst, ein Produkt wird zu Null, ist einer der beiden Faktoren gleich Null, 1. Faktor lautet -2x=0, also liegt an der Stelle x=0 ein Extrempunkt vor (hast du), 2. Faktor lautet [mm] e^{-x^{2}}=0, [/mm] hat bekanntlich keine Lösung
[mm] f''(x)=-2*e^{-x^{2}}+4x^{2}*e^{-x^{2}}
[/mm]
[mm] f''(0)=-2*e^{0}+4*0^{2}*e^{0}=-2<0 [/mm] somit liegt ein Maximum vor (bedenke [mm] e^{0}=1)
[/mm]
[mm] f(0)=e^{0}=1 [/mm] der Punkt (0;1) ist Maximum der Funktion (hast du)
4) Wendepunkte:
[mm] f''(x)=-2*e^{-x^{2}}+4x^{2}*e^{-x^{2}}=e^{-x^{2}}(-2+4x^{2})=0
[/mm]
hier benötigst du wieder - ein Produkt wird zu Null, ist einer der beiden Faktoren gleich Null
[mm] -2+4x^{2}=0
[/mm]
an den Stellen [mm] x_1=\wurzel{0,5} [/mm] und [mm] x_2=-\wurzel{0,5} [/mm] liegen also Wendepunkte vor
5) Polstellen:
korrekt
6) Asymptote:
[mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0
[/mm]
es gibt also die waagerechte Asymptote y=0 (die x-Achse)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hey, cool so sehr falsch lag ich dann gar nicht =)
Zu der Asymptote hab ich noch eine Frage.
>
> 6) Asymptote:
> [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0[/mm]
> es gibt also die waagerechte Asymptote y=0 (die x-Achse)
>
Irgednwie sagt mir dieser Ausdruck nicht viel,wie hast du die Asymptote denn mit der Funktion ausgerechnet ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mandy!
Gegen welchen Wert strebt denn $-x^2$ für $x\rightarrow\pm\infty$ ?
Und was passiert mit der e-Funktion für sehr kleine Werte (also für $z\rightarrow-\infty}$)?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Gegen welchen Wert strebt denn [mm]-x^2[/mm] für
> [mm]x\rightarrow\pm\infty[/mm] ?
Das strebt doch dann gegen 0 oder?
> Und was passiert mit der e-Funktion für sehr kleine Werte
> (also für [mm]z\rightarrow-\infty}[/mm])?
>
dann strebt die auch gegen 0 ?
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Hallo,
setze doch mal Zahlen ein x=10, somit [mm] x^{2}=100, [/mm] oder x=100, somit [mm] x^{2}=10000, [/mm] oder x=10000, somit [mm] x^{2}=100000000, [/mm] bedenke weiterhin das Quadrat einer negativen Zahl ist stets positiv,
so haben wir z.B. [mm] e^{-100000000}=\bruch{1}{e^{100000000}}, [/mm] jetzt sollte es dir klar werden,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> setze doch mal Zahlen ein x=10, somit [mm]x^{2}=100,[/mm] oder
> x=100, somit [mm]x^{2}=10000,[/mm] oder x=10000, somit
> [mm]x^{2}=100000000,[/mm] bedenke weiterhin das Quadrat einer
> negativen Zahl ist stets positiv,
> so haben wir z.B. [mm]e^{-100000000}=\bruch{1}{e^{100000000}},[/mm]
> jetzt sollte es dir klar werden,
> Steffi
Ich hab jetzt 10 und 100 eingesetzt,bei größeren zeigt der Taschenrechner MATH ERROR an.Je größer das x wird,desto mehr 0en kommen nach dem 0,00000.... also strebt es doch gegen 0 oder nicht?
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Hallo, so ist es [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=0, [/mm] Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok.vielen Dank für deine Hilfe =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> 4) Wendepunkte:
>
> [mm]f''(x)=-2*e^{-x^{2}}+4x^{2}*e^{-x^{2}}=e^{-x^{2}}(-2+4x^{2})=0[/mm]
> hier benötigst du wieder - ein Produkt wird zu Null, ist
> einer der beiden Faktoren gleich Null
> [mm]-2+4x^{2}=0[/mm]
> an den Stellen [mm]x_1=\wurzel{0,5}[/mm] und [mm]x_2=-\wurzel{0,5}[/mm]
> liegen also Wendepunkte vor
>
Ich hab die Werte in die Funktion eingesetzt und erhalte als Wendepunkte
[mm] (\wurzel{0,5}/e^{0,5}) [/mm] und [mm] (-\wurzel{0,5}/-e^{0,5}) [/mm]
ist das ok so?
Und ich hab nochmal ne Frage,wenn ich die Funktion zeichnen will,setz ich dann einfach für die zahl e 2,818........ein oder gibts da irgendeine besondere Art und Weise wie man die e funktion zeichnet?
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Hallo, hier hast du einige Vorzeichenfahler, bzw. gegen mathematische Regeln verstoßen
[mm] f(\wurzel{0,5})=e^{-(\wurzel{0,5})^{2}}=e^{-0,5} [/mm] somit [mm] (\wurzel{0,5};e^{-0,5})
[/mm]
[mm] f(-\wurzel{0,5})=e^{-(-\wurzel{0,5})^{2}}=e^{-0,5} [/mm] somit [mm] (-\wurzel{0,5};e^{-0,5})
[/mm]
[mm] e\approx2,718281, [/mm] benutze aber nicht den gerundeten Wert, e ist auf (fast) allen Taschenrechnern vorhanden,
Steffi
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
