Dynkinsystem < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Do 04.08.2016 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{E} \subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] für [mm] \Omega \not= \emptyset. [/mm] Seien [mm] \mu_1 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] Maße auf [mm] \sigma (\mathcal{E}), [/mm] die auf [mm] \mathcal{E} [/mm] identisch sind, d.h. für alle E [mm] \in \mathcal{E} [/mm] gilt [mm] \mu_1 [/mm] (E) = [mm] \mu_2 [/mm] (E).
Zeigen Sie: Für alle E [mm] \in \mathcal{E} [/mm] mit [mm] \mu_1 [/mm] (E) < [mm] \infty [/mm] ist das durch
[mm] \mathcal{D}_E [/mm] = {A [mm] \in \sigma (\mathcal{E}) [/mm] | [mm] \mu_1 [/mm] (A [mm] \cap [/mm] E) = [mm] \mu_2 [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] E) } definierte Mengensystem ein Dynkinsystem |
Hallo,
mangels Übung und der sehr abstrakten Maßtheorie bin ich mir doch rehct unsicher, wie hier vorzugehen ist. im Skript werden solche Beweise häufig mit dem Prinzip der guten Menge geführt. Ist das hier auch notwendig?
Oder kann ich direkt an [mm] \mathcal{D}_E [/mm] die Voraussetzungen prüfen?
Ich versuche es einmal so und komme auf:
1. [mm] \mu_1 (\Omega \cap [/mm] E ) = [mm] \mu_1 [/mm] (E) = [mm] \mu_2 [/mm] (E) = [mm] \mu_2 (\Omega \cap [/mm] E), also ist [mm] \Omega \in \mathcal{D}_E
[/mm]
2. Seien disjunkte [mm] {A_n} \in \mathcal{D}_E, [/mm] also [mm] \mu_1 [/mm] ( [mm] A_n \cap [/mm] E ) = [mm] \mu_2 (A_n \cap [/mm] E).
Dann gilt:
[mm] \mu_1 ((\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n )\cap [/mm] E ) = [mm] \mu_1 [/mm] ( [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} (A_n \cap [/mm] E)) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \mu_1 (A_n \cap [/mm] E) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \mu_2 (A_n \cap [/mm] E) [mm] =\mu_2 [/mm] ( [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} (A_n \cap [/mm] E)) = [mm] \mu_2 ((\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_n) \cap [/mm] E )
Also: [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{D}_E
[/mm]
3. Beim Komplement komme ich dann aber nicht mehr weiter. Sei A [mm] \in \mathcal{D}_E
[/mm]
[mm] \mu_1 [/mm] ( [mm] (\Omega [/mm] \ A) [mm] \cap [/mm] E ) = [mm] \mu_1 [/mm] (E \ A) = ?
Ist der Anfang so richtig?
Oder muss man es doch mit den guten Mengen machen?
VG
|
|
| |
|
Hiho,
leider bin ich erst heute aus dem Urlaub wieder zurück, tut mir leid, dass du so lange warten musstest…
Deine Beweise für 1.) und 2.) sind ok.
Für das Komplement bedenke folgendes: Du hast die Voraussetzung $ [mm] \mu_1(E) [/mm] < [mm] \infty [/mm] $ noch gar nicht verwendet. Dein Beginn ist auch zielführend. Mach dir mal klar, dass [mm] $E\setminus [/mm] A = [mm] E\setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] E)$.
Und dann Rechenregel für Maße…
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mo 08.08.2016 | | Autor: | Stala |
Hallo und vielen Dank!
Wenn ich die Rechenregeln für Maß nutze, dann erhalte ich ja recht einfach, da
(A [mm] \cap [/mm] E ) [mm] \subset [/mm] E und [mm] \mu_1 [/mm] (E) < [mm] \infty [/mm] und somit auch [mm] \mu_1 [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] E) < [mm] \infty
[/mm]
[mm] \mu_1 [/mm] ( E \ (E [mm] \cap [/mm] A)) = [mm] \mu_1 [/mm] (E) - [mm] \mu_1(E \cap [/mm] A) = [mm] \mu_2 [/mm] (E) - [mm] \mu_2(E \cap [/mm] A) = [mm] \mu_2 [/mm] ( ( [mm] \Omega [/mm] \ A ) [mm] \cap [/mm] E)
womit ja alles gezeigt wäre.
Diese Rechenregel hatten wir im Skript primär für einen Inhalt [mm] \mu [/mm] über einem Ring [mm] \mathcal{R} [/mm] bewiesen.
Darf ich diese somit auch für Maß bzw. das Dynkinsystem verwenden, da es sich ja bei beiden um eindeutige Fortsetzungen des Inhalts bzw. des Rings handelt?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Diese Rechenregel hatten wir im Skript primär für einen
> Inhalt [mm]\mu[/mm] über einem Ring [mm]\mathcal{R}[/mm] bewiesen.
> Darf ich diese somit auch für Maß bzw. das Dynkinsystem
> verwenden, da es sich ja bei beiden um eindeutige
> Fortsetzungen des Inhalts bzw. des Rings handelt?
[mm] $\mu_1$ [/mm] und [mm] $\mu_2$ [/mm] sind Maße und damit insbesondere Inhalte.
[mm] $\sigma(\mathcal{E})$ [/mm] ist ein [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] und damit insbesondere ein Ring.
Beantwortet das deine Frage?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Mo 08.08.2016 | | Autor: | Stala |
Ja, so macht das Sinn.
Vielen Dank!
Gruß
|
|
|
|
