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Dynkin System µ=v: Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:36 Fr 29.05.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Seien (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] eine Menge mit [mm] \sigma-Algebra [/mm] und [mm] \mu,\nu [/mm] Maße auf [mm] \mathcal{A}. [/mm] Weiter sei [mm] \mathcal{E} [/mm] ein [mm] \cap-stabile [/mm] Erzeuger von [mm] \mathcal{A} [/mm] mit [mm] \mu(E)=\nu(E) [/mm] für E [mm] \in \mathcal{E}. [/mm] Es existiere eine Folge [mm] E_1 \subset E_2 \subset [/mm] ... in [mm] \mathcal{E} [/mm] mit [mm] \mu(E_n) [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] \bigcup_{n}^{}E_n=X. [/mm]

(1) z.z., dass für jedes E [mm] \in \mathcal{E} [/mm] mit [mm] \mu(E)<\infty [/mm] das Mengensystem
[mm] \mathcal{D}(E):=\{A \in \mathcal{A}: \mu(A\cap E)=\nu(A \cap E)\} [/mm] ein Dynkin-System ist.

(2) Folgern Sie [mm] \mathcal{A} \subset \mathcal{D}(E) [/mm] für alle E [mm] \in \mathcal{E} [/mm] mit [mm] \mu(E) [/mm] < [mm] \infty [/mm] mithilfe der Eigenschaft, dass ein Dynkin System genau dann eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra ist, wenn es [mm] \cap-stabil [/mm] ist und [mm] \mathcal{D}(\mathcal{E})=\mathcal{A}_\sigma (\mathcal{E}) [/mm] mit [mm] \mathcal{E}\subset [/mm] P(X) als [mm] \cap [/mm] -stabile Mengensystem und Erzeuger erfüllt ist.

(3) z.z.: Maße [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] stimmen auf ganz [mm] \mathcal{A} [/mm] überein.

Hallo,

mein Lösungsansatz:

(1)
i) [mm] \bigcup_{n} E_n=X [/mm] liegt in [mm] \mathcal{E} \Rightarrow [/mm] X [mm] \in \mathcal{D}(E) [/mm]
ii) Seien A,B [mm] \in \mathcal{D}(E) [/mm] mit [mm] B\subset [/mm] A:
[mm] \mu((A\setminus B)\cap E)=\mu(A \cap [/mm] E)- [mm] \mu(B \cap E)=\nu(A \cap [/mm] E)- [mm] \nu(B \cap E)=\nu((A\setminus B)\cap [/mm] E) [mm] \Rightarrow A\B \in \mathcal{D}(E) [/mm]
iii)Seien [mm] A_1,A_2,... \in \mathcal{D}(E) [/mm] paarweise disjunkt und A = [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i. [/mm] Wegen [mm] \sigma [/mm] -Additivität folgt:
[mm] \mu(A \cap [/mm] E) = [mm] \mu((\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i)\cap E)=\summe_{i=1}^{\infty} \mu(A_i \cap E)=\summe_{i=1}^{\infty} \nu(A_i \cap E)=\nu(A \cap [/mm] E) [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \in \mathcal{D}(E) [/mm]


(2) Ersteinmal: [mm] \mathcal{E} \subset \mathcal{D}(E) \Rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{E})\subset \mathcal{D}(E). [/mm]
Da [mm] \mathcal{E} \cap-stabil [/mm] und [mm] \mathcal{D}(\mathcal{E})=\mathcal{A}_\sigma (\mathcal{E}) [/mm] mit [mm] \mathcal{E} \subset [/mm] P(X) folgt:
[mm] \mathcal{A}=\sigma(\mathcal{E})= \mathcal{D}(\mathcal{E}) \subset \mathcal{D}(E) \subset \mathcal{A} \forall [/mm] E [mm] \in \mathcal{E} [/mm] (d.h. [mm] \mathcal{A}=\mathcal{D}(E)). [/mm]
Da [mm] \mathcal{D}(\mathcal{E}) [/mm] kleinste DS mit Erzeuger [mm] \mathcal{E} [/mm] und nach Definition automatisch [mm] \mathcal{D}(E) \subset \mathcal{A}. [/mm]

(3) Da [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] von unten stetig, gilt für A [mm] \in \mathcal{A}: [/mm]
[mm] \mu(A)= \limes_{n \to \infty}\mu(A \cap E_n) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\nu(A \cap E_n) [/mm] = [mm] \nu(A). [/mm]
Mit (2) [mm] \sigma(\mathcal{E})= \delta(\mathcal{E}) \subset \mathcal{D}(E) [/mm] folgt [mm] \mu=\nu. \Box [/mm]

Fragen: Ist der Ansatz ersteinmal richtig und vollständig?
Ist für (3) eigentlich [mm] \mathcal{A}=\mathcal{D}(E) [/mm] zu zeigen (da in (2) nicht gefordert)?
Die Korrektur für die vollständige Richtigkeit wäre nett..


        
Bezug
Dynkin System µ=v: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 So 31.05.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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