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| Aufgabe | Es sei [mm] \Omega [/mm] eine nichtleere Menge und [mm] \mathcal{D}\subset\mathcal{P}(\Omega). [/mm] Weiterhin seien die folgenden Eigenschaften definiert:
1. [mm] \Omega\in\mathcal{D}.
[/mm]
2. [mm] \var{A}\in\mathcal{D} \Rightarrow A^c\in\mathcal{D}.
[/mm]
3. [mm] \var{A}, \var{B}\in\mathcal{D} \Rightarrow A\setminus{B}\in\mathcal{D}.
[/mm]
4. Für jede Folge [mm] (A_n)_n [/mm] paarweise disjunkter Mengen mit der Eigenschaft, dass [mm] A_n\in\mathcal{D} [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] gilt [mm] \bigcup_nA_n\in\mathcal{D}.
[/mm]
5. Für jede Folge [mm] (A_n)_n [/mm] aufsteigender Mengen mit der Eigenschaft, dass [mm] A_n\in\mathcal{D} [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] gilt [mm] \bigcup_nA_n\in\mathcal{D}.
[/mm]
Es sei nun [mm] \mathcal{F}\subset\mathcal{P}(\Omega) [/mm] ein Mengensystem, welches
(a) 1., 2. und 4.
(b) 1., 2. und 5.
(c) 1., 3. und 4.
(d) 1., 3. und 5.
erfülle. Welche der Anforderungen (a) bis (d) definieren ein Dynkin-System und welche sind stärker bzw. schwächer? |
Hallo,
Mich interessiert erst einmal (b).
Ich bin der Meinung, irgendwo gelesen zu haben, dass man in der Definition (also in (a)) 4. durch 5. ersetzen kann, was ich aber nicht verstehe. Konkret:
[mm] \Omega=\{1,2,3,4\} [/mm] und [mm] \mathcal{F}=\big\{\emptyset,1,2,\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\big\} [/mm] (Was natürlich kein Dynkin-System ist)
Wären in diesem Bsp jedoch nicht die Bedingungen 1., 2. und insbesondere 5. erfüllt? Kann ja eigentlich nicht sein, aber alle aufsteigenden Folgen wären doch hier:
[mm] \{1\}\subset\{1,3,4\}\subset\{1,2,3,4\}
[/mm]
und
[mm] \{2\}\subset\{2,3,4\}\subset\{1,2,3,4\} [/mm] ?
Vielen Dank für eure Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Fr 16.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei [mm]\Omega[/mm] eine nichtleere Menge und
> [mm]\mathcal{D}\subset\mathcal{P}(\Omega).[/mm] Weiterhin seien die
> folgenden Eigenschaften definiert:
> 1. [mm]\Omega\in\mathcal{D}.[/mm]
> 2. [mm]\var{A}\in\mathcal{D} \Rightarrow A^c\in\mathcal{D}.[/mm]
> 3. [mm]\var{A}, \var{B}\in\mathcal{D} \Rightarrow A\setminus{B}\in\mathcal{D}.[/mm]
> 4. Für jede Folge [mm](A_n)_n[/mm] paarweise disjunkter Mengen mit
> der Eigenschaft, dass [mm]A_n\in\mathcal{D}[/mm] für alle [mm]n\in\IN,[/mm]
> gilt [mm]\bigcup_nA_n\in\mathcal{D}.[/mm]
> 5. Für jede Folge [mm](A_n)_n[/mm] aufsteigender Mengen mit der
> Eigenschaft, dass [mm]A_n\in\mathcal{D}[/mm] für alle [mm]n\in\IN,[/mm] gilt
> [mm]\bigcup_nA_n\in\mathcal{D}.[/mm]
>
> Es sei nun [mm]\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm] ein
> Mengensystem, welches
> (a) 1., 2. und 4.
> (b) 1., 2. und 5.
> (c) 1., 3. und 4.
> (d) 1., 3. und 5.
> erfülle. Welche der Anforderungen (a) bis (d) definieren
> ein Dynkin-System und welche sind stärker bzw.
> schwächer?
>
> Mich interessiert erst einmal (b).
>
> Ich bin der Meinung, irgendwo gelesen zu haben, dass man in
> der Definition (also in (a)) 4. durch 5. ersetzen kann,
Ja, das geht. Setze [mm] $A_1 [/mm] = [mm] E_1$ [/mm] und [mm] $E_{n+1} [/mm] = [mm] A_{n+1} \setminus A_n$ [/mm] bzw. [mm] $A_{n+1} [/mm] = [mm] A_n \cup E_{n+1}$.
[/mm]
> was ich aber nicht verstehe. Konkret:
>
> [mm]\Omega=\{1,2,3,4\}[/mm] und
> [mm]\mathcal{F}=\big\{\emptyset,1,2,\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\big\}[/mm]
> (Was natürlich kein Dynkin-System ist)
Es ist keins, weil $1$ und $2$ keine Teilmengen von [mm] $\{ 1, 2, 3, 4 \}$ [/mm] sind. Wenn du allerdings schreibst: [mm]\mathcal{F}=\big\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\big\}[/mm] dann sollte es sehr wohl ein Dynkin-System sein. Es ist ja sogar eine [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
> Wären in diesem Bsp jedoch nicht die Bedingungen 1., 2.
> und insbesondere 5. erfüllt? Kann ja eigentlich nicht
> sein, aber alle aufsteigenden Folgen wären doch hier:
>
> [mm]\{1\}\subset\{1,3,4\}\subset\{1,2,3,4\}[/mm]
> und
> [mm]\{2\}\subset\{2,3,4\}\subset\{1,2,3,4\}[/mm] ?
Du hast die leere Menge vorne vergessen  Und du kannst noch andere Teilfolgen nehmen.
LG Felix
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Hallo,
da habe ich dann jetzt eine Frage:
Wenn $ [mm] \mathcal{F}=\big\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\big\} [/mm] $ ein Dynkinsystem wäre, müsste dann nicht auch $ [mm] \{1,2\} \in \mathcal{F} [/mm] $ sein?
Meiner Meinung nach erfüllt dieses $ [mm] \mathcal{F} [/mm] $ zwar Punkt 5 aus der Aufgabenstellung, nicht jedoch Punkt 4 - was dann hieße, dass 4 eine stärkere Anforderung ist als 5. Oder sehe ich das falsch?
Gruß,
Gero
> Wenn du allerdings schreibst:
> [mm]\mathcal{F}=\big\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\big\}[/mm]
> dann sollte es sehr wohl ein Dynkin-System sein. Es ist ja
> sogar eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:27 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Gero,
> da habe ich dann jetzt eine Frage:
>
> Wenn
> [mm]\mathcal{F}=\big\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\big\}[/mm]
> ein Dynkinsystem wäre, müsste dann nicht auch [mm]\{1,2\} \in \mathcal{F}[/mm]
> sein?
ooooooooooooh ich bemerke gerade was ich uebersehen hab. Ja, die Menge fehlt tatsaechlich, und damit ist es weder eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] noch ein Dynkin-System!
> Meiner Meinung nach erfüllt dieses [mm]\mathcal{F}[/mm] zwar Punkt
> 5 aus der Aufgabenstellung,
Und ebenso die Punkte 1 und 2.
> nicht jedoch Punkt 4 - was dann
> hieße, dass 4 eine stärkere Anforderung ist als 5. Oder
> sehe ich das falsch?
Nun, dazu muesstest du noch zeigen, dass jedes Mengensystem, welches 1, 2 und 4 erfuellt, auch 5 erfuellt.
Apropos: das was der Originalposter als die Definition eines Dynkin-Systems angibt, ist denke ich nicht die ![[]](/images/popup.gif) eigentliche Definition.
LG Felix
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Hallo,
ersteinmal Danke fürs Mitmachen. Ich habe also [mm] \mathcal{F}=\big\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\big\} [/mm] und ich will annehmen, dass 1,2,4 meine Definition für ein Dynkinsystem ist (entspricht der Vorlesung) und die Definition aus Wikipedia müsste etwas stärker sein (noch zu zeigen).
Nach 1,2,5 wäre obiges [mm] \mathcal{F} [/mm] ein Dynkinsystem (nach 1,2,4 natürlich nicht, weil z.B. [mm] \{1,2\} [/mm] fehlt.
Allerdings habe ich halt gelesen, dass man 4. durch 5. ersetzen kann (vielleicht schwächere Forderung als 4.). Das muss ja erstmal nichts heißen, dass das mal irgendwer irgendwo geschrieben hat, doch wenn man solche aufsteigenden Folgen von Mengen betrachtet, dann können doch nie neue Mengen als die ohnehin schon vorhandenen dazukommen??? Allerdings wäre diese Eigenschaft ziemlich sinnlos und man könnte sie weglassen?
Diese Eigenschaft muss also schon ihre Berechtigung haben und irgendwas verstehe ich an 5. immer noch falsch...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ersteinmal Danke fürs Mitmachen. Ich habe also
> [mm]\mathcal{F}=\big\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\big\}[/mm]
> und ich will annehmen, dass 1,2,4 meine Definition für ein
> Dynkinsystem ist (entspricht der Vorlesung) und die
> Definition aus Wikipedia müsste etwas stärker sein (noch
> zu zeigen).
>
> Nach 1,2,5 wäre obiges [mm]\mathcal{F}[/mm] ein Dynkinsystem (nach
> 1,2,4 natürlich nicht, weil z.B. [mm]\{1,2\}[/mm] fehlt.
Ja.
> Allerdings habe ich halt gelesen, dass man 4. durch 5.
> ersetzen kann (vielleicht schwächere Forderung als 4.).
> Das muss ja erstmal nichts heißen, dass das mal irgendwer
> irgendwo geschrieben hat,
Die Frage ist ja auch, was derjenige als Axiome vorausgesetzt hat.
> doch wenn man solche
> aufsteigenden Folgen von Mengen betrachtet, dann können
> doch nie neue Mengen als die ohnehin schon vorhandenen
> dazukommen???
Bei endlichen Dynkinsystemen stimmt das. Bei unendlichen nicht umbedingt, da koennen sehr wohl neue Elemente dazukommen.
> Allerdings wäre diese Eigenschaft ziemlich
> sinnlos und man könnte sie weglassen?
Wenn du Eigenschaft 3 und 4 hast, dann folgt daraus auch Eigenschaft 5.
Aber ich hab Zweifel, wie man von 5 auf 4 kommt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Di 20.10.2009 | | Autor: | Mr.Teutone |
Ja, du hast recht und ein einfaches Bsp dafür, dass die 5. Eigenschaft doch ihre Berechtigung hat, ist:
Folge [mm] (A_n)_n [/mm] von Intervallen mit [mm] A_n=\left[\frac{1}{n},1\right].
[/mm]
Eine aufsteigende Folge ist dann: [mm] \emptyset\subset\left[1,1\right]\subset\left[\frac{1}{2},1\right]\subset\left[\frac{1}{3},1\right]\subset\ldots
[/mm]
Und [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n=]0,1] [/mm] ist dann definitiv ein neues Element...
Ok, den Rest bekomme ich dann hin und bis zum nächsten Mal...
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