Durchstoßpunkt von Ebenen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
Hallo
ich habe folgendes Problem, und zwar geht um den Durchstoßpunkt deiner Gerade.
Die Ebene E geht durch den Punkt P [mm] \vektor{0 \\ 0 \\4} [/mm] ud hat den Normalenvektor
[mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] 2\overrightarrow{i} [/mm] + [mm] 2\overrightarrow{j} [/mm] + [mm] \overrightarrow{k}
[/mm]
Zu berechnen ist der Durchstoßpunkt der Geraden
[mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] \overrightarrow{i} [/mm] - [mm] \overrightarrow{j} [/mm] - [mm] \overrightarrow{k}+
[/mm]
[mm] t(2\overrightarrow{i} [/mm] - [mm] 2\overrightarrow{j} [/mm] - [mm] \overrightarrow{k}) [/mm] mit der Ebene E
Ich habe ehrlich gesagt keinen Pplan wie das geht.
Wenn jemand da durchsieht und es mir erläutern würde wäre toll
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Di 11.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Könnte es sein, dass mit den Vektoren [mm]\vec{i}[/mm], [mm]\vec{j}[/mm], [mm]\vec{k}[/mm] die Standard-Einheitsvekoren [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] gemeint sind? Manche Leute bezeichnen die so, obwohl [mm]\vec{e_1}[/mm] bis [mm]\vec{e_3}[/mm] gebräuchlicher ist...
Sollte es hier so sein, dann ist es ja einfach, die Ebenen- und die Geradengleichung aufzustellen.
Sollen die [mm]\vec{i}[/mm], [mm]\vec{j}[/mm], [mm]\vec{k}[/mm] jedoch beliebige (wahrscheinlich lin. unabhängige) Vektoren sein, dann wird's aufwendig. Dann müsstest du wohl die Vektoren komponentenweise hinschreiben, z.B. [mm]\vec{i}=\vektor{i_1 \\ i_2 \\ i_3}[/mm] u.s.w., und damit das ganze durchrechnen. Ist dann zwar auch nicht wirklich schwer, aber ne blöde Rumschreiberei.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Di 11.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
Sorry das ich jetzt erst schreibe, aber das Studium, da ist jetzt bald Prüfung, so das ich jetzt nicht sooft an den Rechner komme.
Ich kann dir deine Frage leider nicht beantworten, ich sitze schon ein Paar Wochen an der Prüfungsvorbereitung Mathe und das ist das Stoffgebiet mit dem ich nicht klar komme.
Das was du da gelesen hast, ist das was auf der Prüfung drauf steht. Mehr leider auch nicht.
Amarradi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
Hallo
ich habe gerübelt und nachgedacht und bin zu meinem Problem auf folgenden Ansatz gekommen.
Der Punkt
P= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\4}
[/mm]
Die Grundgleichung der Ebene lautet.
y=ax+by+cz+d
Der normalenvektor lautet
n= [mm] \vektor{2 \\ 2 \\1}
[/mm]
y= [mm] \vektor{2 \\ 2 \\1}* (\vektor{x \\ y \\z} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\4}) [/mm] +d
Und wie geht das jetzt weiter, wenn ich richtig liege.
Wie bekomme ich jetzt daraus die Ebene, und was auch noch nicht ganz klar ist wie kann ich mir die Sybtraktion mit dem Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] mit [mm] \vektor{0 \\ 0 \\4} [/mm] geometrisch vorstellen.
Und wie geht das mit dem Durchstoßpunkt?
Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke schonmal im Vorraus
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> Die Grundgleichung der Ebene lautet.
> y=ax+by+cz+d
Nicht ganz, eine Ebene in Koordinatenform lautet entweder [mm]ax+by+cz+d=0[/mm] , oder wenn man die konstante Zahl isoliert [mm]ax+by+cz=d[/mm].
> Der normalenvektor lautet [mm]\vektor{2 \\ 2 \\1}[/mm]
Naja, wenn man die Vektoren [mm]\vec{i}[/mm], [mm]\vec{j}[/mm], [mm]\vec{k}[/mm] so interpretiert, dass sie die Standard-Einheitsvektoren [mm]\vektor{1 \\ 0 \\0}[/mm], [mm]\vektor{0 \\ 1 \\0}[/mm], [mm]\vektor{0 \\ 0 \\1}[/mm] sein sollen, dann stimmt's bis hierher.
Sollen die drei Vektoren aber beliebige, linear unabhängige Vektoren sein, dann bräuchte man nen anderen Ansatz. Da würde man sich aber wohl totrechnen.
> y = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\1}\cdot{} (\vektor{x \\ y \\z}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 0 \\4})[/mm] +d
Hier wirfst du irgendwas durcheinander.
Die Normalenform einer Ebene baut man sich so zusammen:
[mm]\vec{n} \cdot [\vec{x} - \vec{p}] = 0[/mm] , wobei [mm]\vec{n}[/mm] der Normalenvektor, und [mm]\vec{p}[/mm] der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene ist.
Also hier: [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1} \cdot [\vektor{x \\ y \\ z} - \vektor{0 \\ 0 \\ 4}] = 0[/mm]
> Wie bekomme ich jetzt daraus die Ebene, und was auch noch nicht ganz > klar ist wie kann ich mir die Sybtraktion mit dem Vektor [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] mit [mm]\vektor{0 \\ 0 \\4}[/mm] geometrisch vorstellen.
Zuerst mal: das ist schon die Ebene. Das ist eben die Normalenform der Ebene. Wenn du sie in Koordinatenform haben willst, dann musst du nur die eckige Klammer ausmultiplizieren.
Die Normalengleichung funktioniert so: die Differenz von zwei Vektoren ist der Verbindungspfeil ihrer beiden Spitzen (nicht schön ausgedrückt, aber so kann man sich's vorstellen).
Der Punkt [mm]P(0/0/4)[/mm] liegt sowieso auf der Ebene. Nun sucht man sich alle Punkte [mm]Q(x/y/z)[/mm], deren Differenzvektor die Eigenschaft hat, dass er zum Normalenvektor senkrecht steht.
Warum senkrecht? Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird dann =0, wenn sie senkrecht aufeinander stehen, und keiner von beiden der Nullvektor ist.
Und die Ebenengleichung in Normalenform "will" alle Ortsvektoren von Punkten [mm]Q(x/y/z)[/mm], die in der Ebene liegen, so dass der Differenzvektor senkrecht zum Normalenvektor steht.
Klar geworden?
Und jetzt zum Durchstoßpunkt: wenn du deine Geradengleichung aufgestellt hast, und die Ebenengleichung in die Form [mm]ax+by+cz=d[/mm] gebracht hast, dann setzt du die Geradengleichung komponentenweise ein, und bekommst einen Wert für deinen Geradenparameter t.
Diesen setzt du dann in die Geradengleichung ein, und bekommst den Ortsvektor des Durchstoßpunktes.
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