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| Aufgabe 1 | | Sei A im RxR messbar mit Lebesgue-Maß größer als Wurzel(3)/2, dann hat A Durchmesser größer als 1. |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen sie das einfache Hausdorff-Maß des Einheitskreises im RxR |
Zu 1) habe ich den Tipp bekommen, dass man ein nicht quadratisches Gitter zur Unterstützung nehmen solle. Ich dachte hierbei an sowas, wie das Gitter, welches von Z[Wurzel(2)] entsteht. Das hat die Länge eins und die Höhe Wurzel(2). Dort könnte man beobachten, dass die Diagonallänge von einem "Kästchen" Wurzel(3) ist und der Abstand vbon jedem Punkt in diesem "Kästchen" zum mindestens Wurzel(3)/2 betragen müsste. Wie könnte man von hier aus weiter machen? Oder ist der Ansatz falsch?
Zu 2) weiß ich wenig. Hier fehlt mir die geeingnete Überdeckung des Kreises. Ich habe bis jetzt nur festgestellt, dass jede Teilmenge, welche Durchmesser k hat, Teilmenge eines Kreises mit dem Durchmesser k ist. Ist diese Beobachtung richtig? Ich könnte dann den Einheitskreis mit kleinen Kreisen des Durchmessers Epsilon überdenken, für jedes Epsilon des Hausdorff-Maßes und das dann gegen 0 laufen lassen. Ich merke aber bei besonders großen Epsilon Probleme dabei.
Wenn dies nicht funktionier könnte man auch wieder ein Gitter über den Einheitskreis legen. Ein "Kästchen" der Länge k hat hat Durchmesser Wurzel(2)k. Die kann ich ja auch beliebig klein machen und müsste dann wissen, wie viele Kästchen den Kreis noch trifft. Das ist für die ersten Unterteilungen einfach:
Ich würde den Kreis in ein Quadrat der Länge 2 legen. Könnte das Quadrat immer vierteln. Beim ersten Vierteln, überdecken immer noch alle 4 Quadrate (nun mit Länge 1) den Kreis. Beim zweiten Schritt fallen die ersten vier hinaus (nun mit Länge 1/2), das heißt es bleiben 12 Stück über.
Allgemein kann ich noch beobachten, dass wenn ich so ein "interessantes Quadrat" beobachte, also eins, durch das der Kreis irgendwie "durchläuft" und jenes vierteln würde, dann lägen höchstens 3 der 4 "neuen" Quadrate wieder auf dem Kreis. Das würde eine sehr grobe Abschätzung geben, aber ich weiß nicht, in welche "Richtung" sie "wegfallen". Sie könnten ja auch nach außen "wegfallen" und dann sind sie für mich nicht mehr interessant. So kann man zumindest Lebesgue-messbarkeit für den Kreis nachweisen, aber über die Diagonale kann man wenig sagen, es sei denn man schätzt wirklich sehr grob ab, aber das wird nicht helfen.
Ich bräuchte also für beide Aufgaben Hilfe. Ich danke euch im Vorraus.
Gruß Kalender.
Erster Edit: Ich bin mir sehr sicher, dass das Hausdorff-Maß 2Pi sein wird, denn ich kann es von unten schon mit 2Pi abschätzen und größer als 2Pi wird es nicht. Das kann ich beweisen, denn das Hausdorff-Maß wird für Epsilon gegen Null nur größer und nicht kleiner.
Ich brauche also noch eine geeignete Überdeckung für meinen Kreis.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/
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Guten Tag
ich müsste mir noch überlegen (lang lang ist's her seit
der Beschäftigung mit solchen Maßen im Studium),
wie man bei der Aufgabe im Einzelnen vorgehen sollte.
Ich möchte mir aber die Bemerkung erlauben, dass die
zweite Aufgabe nicht klar genug gestellt ist. Nach meiner
Ansicht sollte definiert werden, was unter "Einheitskreis"
zu verstehen sein soll, nämlich entweder die (eindimensionale)
Kreislinie oder aber die (zweidimensionale) Kreisscheibe.
Al-Chw.
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Hallo, es handelt sich hierbei um den Einheitskreis, der wie folgt aussieht:
S = [mm] \{ x\in RxR| ||x|| = 1 \}
[/mm]
Gerade die Aufgabe ist interessant, weil sie wenig technisch ist. Hier braucht man vermutlich die Idee für eine gute Überdeckung, die ich weiterhin nicht finde. Ich habe etwas mit Kreisen versucht, aber die Überdeckung wird sehr schnell geometrisch sehr anspruchsvoll. Die Kästchen-Überdeckung bricht aber ebenfalls zusammen. Ich bin mir aber relativ sicher, dass eine "symmetrische" Überdeckung gefordert ist. Also keine willkürlichen Formen...
Gruß Kalender
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 So 11.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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