Dualraum V* - Eigenschaften < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 So 16.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum. Da K selbst ein K-Vektorraum ist, definieren wir den Dualraum [mm] V^{v} [/mm] von V als [mm] V^{v} [/mm] = {f: V [mm] \to [/mm] K | f ist eine K-lineare Abbildung}
a)
Wir nehmen an, dass V endlichdimensional ist. Sei [mm] v_{1} ,...,v_{n} [/mm] eine Basis von V, und 1 [mm] \in [/mm] K eine Basis von K. Durch
[mm] v^{v}_{j}(v_{i})=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn } i\not=j \mbox{} \\ 1, & \mbox{wenn } j=i \mbox{} \end{cases}
[/mm]
sind eindeutig lineare Abbildungen [mm] v^{v}_{1},...,v^{v}_{n} \in V^{v} [/mm] definiert. Untersuchen Sie, ob [mm] v^{v}_{i} [/mm] ein Mono-/Epi-/Isomorphismus ist.
b)
Beweisen Sie, dass [mm] v^{v}_{1},...,v^{v}_{n} [/mm] eine Basis von [mm] V^{v} [/mm] ist. |
Hallo,
sitze gerade in dieser Aufgabe. Habe Sie erstmal wie folgt gelöst, bin mir aber nicht sicher, ob ich die Definition der o.g. linearen Abbildung richtig verstanden habe.
zu a)
[mm] v^{v}_{i} [/mm] ist Monomorphismus [mm] \gdw [/mm] Ker [mm] v^{v}_{i} [/mm] = {0}.
[mm] v^{v}_{1}(v_{2})= [/mm] 0, sowie [mm] v^{v}_{1} (v_{3}) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] mind. zwei Vektoren werden auf 0 abgebildet [mm] \Rightarrow [/mm] kein Monomorphismus
[mm] v^{v}_{i} [/mm] ist Epimorphismus [mm] \gdw [/mm] dim Bild [mm] v^{v}_{i} [/mm] = dim K.
Basis K = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] dim K = 1
Bild [mm] v^{v}_{i} [/mm] entweder 0 oder 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Basis Bild Bild [mm] v^{v}_{i} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] dim Bild [mm] v^{v}_{i} [/mm] = 1
Also dim Bild [mm] v^{v}_{i} [/mm] = dim K = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Epimorphismus
[mm] v^{v}_{i} [/mm] kein Isomorphismus, da Injektivität nicht gegeben.
zu b)
Überlegung: So wie ich das in a) gemacht habe folgt ja gem. Dimensionsformel dim [mm] V^{v} [/mm] = dim Bild [mm] v^{v}_{i} [/mm] + dim K = 1+1=2
Aber wir haben hier [mm] v^{v}_{1},...,v^{v}_{n}, [/mm] d.h. sehr viele Nullen und Einsen, die doch linear abhängig sind. Deshalb glaube ich sehr stark, dass ich die Definition von [mm] v^{v}_{j}(v_{i}) [/mm] wohl nicht so ganz richtig verstanden habe...
Freue mich über Rückmeldungen 
LG
DrRiese
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Mo 17.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein K-Vektorraum. Da K selbst ein K-Vektorraum ist,
> definieren wir den Dualraum [mm]V^{v}[/mm] von V als [mm]V^{v}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {f: V
> [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K | f ist eine K-lineare Abbildung}
>
> a)
> Wir nehmen an, dass V endlichdimensional ist. Sei [mm]v_{1} ,...,v_{n}[/mm]
> eine Basis von V, und 1 [mm]\in[/mm] K eine Basis von K. Durch
>
>
> [mm]v^{v}_{j}(v_{i})=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn } i\not=j \mbox{} \\ 1, & \mbox{wenn } j=i \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> sind eindeutig lineare Abbildungen [mm]v^{v}_{1},...,v^{v}_{n} \in V^{v}[/mm]
> definiert. Untersuchen Sie, ob [mm]v^{v}_{i}[/mm] ein
> Mono-/Epi-/Isomorphismus ist.
>
> b)
> Beweisen Sie, dass [mm]v^{v}_{1},...,v^{v}_{n}[/mm] eine Basis von
> [mm]V^{v}[/mm] ist.
>
>
> Hallo,
> sitze gerade in dieser Aufgabe. Habe Sie erstmal wie folgt
> gelöst, bin mir aber nicht sicher, ob ich die Definition
> der o.g. linearen Abbildung richtig verstanden habe.
>
> zu a)
> [mm]v^{v}_{i}[/mm] ist Monomorphismus [mm]\gdw[/mm] Ker [mm]v^{v}_{i}[/mm] = {0}.
> [mm]v^{v}_{1}(v_{2})=[/mm] 0, sowie [mm]v^{v}_{1} (v_{3})[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] mind. zwei Vektoren werden auf 0 abgebildet
> [mm]\Rightarrow[/mm] kein Monomorphismus
Man sieht doch sofort: [mm] kern(v_i^v)= [/mm] lineare Hülle von [mm] \{v_1,...,v_n\} \setminus \{v_i\} [/mm] !
>
> [mm]v^{v}_{i}[/mm] ist Epimorphismus [mm]\gdw[/mm] dim Bild [mm]v^{v}_{i}[/mm] = dim
> K.
> Basis K = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] dim K = 1
.... ich ahne, was Du meinst ...
> Bild [mm]v^{v}_{i}[/mm] entweder 0 oder 1 [mm]\Rightarrow[/mm] Basis Bild
> Bild [mm]v^{v}_{i}[/mm] = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] dim Bild [mm]v^{v}_{i}[/mm] = 1
> Also dim Bild [mm]v^{v}_{i}[/mm] = dim K = 1 [mm]\Rightarrow[/mm]
> Epimorphismus
Auch hier sieht man doch: [mm] Bild(v_i^v)=K [/mm] !!!
>
> [mm]v^{v}_{i}[/mm] kein Isomorphismus, da Injektivität nicht
> gegeben.
>
> zu b)
> Überlegung: So wie ich das in a) gemacht habe folgt ja
> gem. Dimensionsformel dim [mm]V^{v}[/mm] = dim Bild [mm]v^{v}_{i}[/mm] + dim
> K = 1+1=2
Unsinn ! Schau Dir die Dimensionsformel noch mal an. Da kommt ein Kern vor ...
>
> Aber wir haben hier [mm]v^{v}_{1},...,v^{v}_{n},[/mm] d.h. sehr
> viele Nullen und Einsen, die doch linear abhängig sind.
zeige: aus [mm] k_1, [/mm] ..., [mm] k_n \in [/mm] K und [mm] k_1v_1^v+...+k_nv_n^v=0 [/mm] folgt:
[mm] k_1=...=k_n=0.
[/mm]
FRED
> Deshalb glaube ich sehr stark, dass ich die Definition von
> [mm]v^{v}_{j}(v_{i})[/mm] wohl nicht so ganz richtig verstanden
> habe...
>
> Freue mich über Rückmeldungen
>
> LG
> DrRiese
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Di 18.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
Ok, habe zur Basisaufgabe jetzt mal folgendes geschrieben:
Wir zeigen, dass die Vektoren [mm] v^{v}_{1},...,v^{v}_{n} [/mm] linear unabhängig sind.
Seien [mm] k_{1},...,k{n} \in [/mm] K mit [mm] \summe_{j=1}^{n} k_{j}*v^{v}_{j} [/mm] = 0 [mm] \in V^{v}.
[/mm]
Dann gilt für jeden Basisvektor [mm] v_{i} [/mm] von V
0 = [mm] 0*v_{i} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} k_{j}*v^{v}_{j}*v_{i} [/mm] = [mm] k_{i}
[/mm]
und somit [mm] k_{i} [/mm] = 0 für alle i = 1,...,n
LG
DrRiese
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Di 18.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DrRiese,
> Wir zeigen, dass die Vektoren [mm]v^{v}_{1},...,v^{v}_{n}[/mm]
> linear unabhängig sind.
> Seien [mm]k_{1},...,k{n} \in[/mm] K mit [mm]\summe_{j=1}^{n} k_{j}*v^{v}_{j}[/mm]
> = 0 [mm]\in V^{v}.[/mm]
> Dann gilt für jeden Basisvektor [mm]v_{i}[/mm] von
> V
> 0 = [mm]0*v_{i}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{n} k_{j}*v^{v}_{j}*v_{i}[/mm] =
> [mm]k_{i}[/mm]
> und somit [mm]k_{i}[/mm] = 0 für alle i = 1,...,n
Was meinst du mit einem Produkt von einem Element aus [mm] $V^v$ [/mm] und einem Element aus V?
Schreibst du dagegen
[mm] $0=0(v_i)=\sum_{j=1}^nk_j*v^v_j(v_i)=k_i$,
[/mm]
so stimmt es.
Ist dir klar, wofür die beiden Nullen jeweils stehen?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Fr 21.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
Hi,
eigentlich hätte ich gedacht, dass die beiden Nullen aus [mm] V^{v} [/mm] sind?
LG
DrRiese
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Fr 21.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm] $0=0(v_i)=\sum_{j=1}^nk_j\cdot{}v^v_j(v_i)=k_i$
[/mm]
> eigentlich hätte ich gedacht, dass die beiden Nullen aus
> [mm]V^{v}[/mm] sind?
Die rechte 0 ist in der Tat die [mm] $0\in V^v$, [/mm] also die Abbildung
[mm] $V\to K,\quad v\mapsto [/mm] 0$,
die alle Vektoren aus V auf die [mm] $0\in [/mm] K$ abbildet.
Die linke 0 ist die 0 aus K.
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