Duale Basis berechnen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Fr 31.12.2010 | | Autor: | Selinara |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren
[mm] v_{1}= \vektor{1 \\2 \\0}
[/mm]
[mm] v_{2}= \vektor{0 \\1 \\1}
[/mm]
[mm] v_{3}= \vektor{1 \\1 \\0}
[/mm]
Zeigen Sie, dass B = [mm] (v_{1}, v_{2}, v_{3}) [/mm] einen Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist und berechnen Sie die zu B duale Basis des [mm] (\IR^3)*, [/mm] d.h. [mm] v_{i} [/mm] ^*: [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] durch 1 x 3 - Matrizen an. |
Hi Leute,
das B einen Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist, hab ich schon erledigt. Mein Problem ist, dass ich jetzt nicht weiß, wie ich die duale Basis berechnen kann.
Über Tipps und Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Fr 31.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
Das Thema hatten wir schon einmal:
https://matheraum.de/read?t=113626&v=t
Vielleicht bringt dich das weiter. Falls nicht, dann kannst du ja deine Ansätze hier schreiben.
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> Gegeben seien die Vektoren
> [mm]v_{1}= \vektor{1 \\
2 \\
0}[/mm]
> [mm]v_{2}= \vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm]
>
> [mm]v_{3}= \vektor{1 \\
1 \\
0}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass B = [mm](v_{1}, v_{2}, v_{3})[/mm] einen Basis des
> [mm]\IR^3[/mm] ist und berechnen Sie die zu B duale Basis des
> [mm](\IR^3)*,[/mm] d.h. [mm]v_{i}[/mm] ^*: [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] durch 1 x 3 -
> Matrizen an.
> Hi Leute,
>
> das B einen Basis des [mm]\IR^3[/mm] ist, hab ich schon erledigt.
> Mein Problem ist, dass ich jetzt nicht weiß, wie ich die
> duale Basis berechnen kann.
Hallo,
dann müssen wir jetzt mal der Frage auf den Grund gehen, warum Du das nicht weißt bzw. was Du weißt. Schade, daß Du keine Lösungsansätze postest.
Dir ist klar, daß der Dualraum alle linearen Abbildungen aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR [/mm] enthält?
Folglich sind auch die Elemente seiner Basis solche Abbildungen.
Weißt Du welche Dimension der Dualraum hat?
Wie ist denn die zu einer Basis duale Basis definiert?
Gruß v. Angela
> Über Tipps und Hilfe wäre ich sehr dankbar.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 02.01.2011 | | Autor: | Selinara |
Hi Angela,
sry, dass es mit der Antwort etwas gedauert hat...
Also mein größtes Problem ist, dass ich mir den Dualen Raum überhaupt nicht vorstellen kann. Das der Dualraum lin. Abb. aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbildet ist mir klar, dass hatten wir in der Vorlesung und ich weiß auch, dass die duale Abb. durch die transpornierte Matrix beschrieben werden können, also z.B.
Mat(AB) [mm] (f))^t [/mm] = Mat B*A* (f*)
Diese Lsg. kann ich aber nicht benuzten, da ich keine Fkt. angegeben habe....
> Weißt Du welche Dimension der Dualraum hat?
Ich denke die Dimension des Dualraums müsste 1 sein, oder? Sprich, ich habe auch nur einen Basisvektor im Dualraum....
> Wie ist denn die zu einer Basis duale Basis definiert?
Wenn ich eine Basis A von V habe, dann exsitieren lin. Abb. [mm] v_{i} [/mm] * s.d. für alle j [mm] v_{i} [/mm] * [mm] (v_{j}) [/mm]
[mm] =\begin{cases} 1, & \mbox{ falls } \mbox{ i=j} \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
somit erhalten ich Abb. und diese Menge A * ist die zu A duale Basis.
So haben wir das in der VL definiert. Somit habe ich eine Menge von Abb. die entweder 1 oder 0 sind, ist das richtig?
Grüße
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> Also mein größtes Problem ist, dass ich mir den Dualen
> Raum überhaupt nicht vorstellen kann.
Hallo,
Vorstellungskraft wird hier eigentlich nicht benötigt.
Wichtig ist die genaue (!) Kenntnis der benötigten Definitionen.
> Das der Dualraum
> lin. Abb. aus dem [mm]\IR^3[/mm] in den [mm]\IR[/mm] abbildet ist mir klar,
Es stimmt aber nicht.
Der Dualraum bildet gar nichts ab.
Wir nehmen jetzt mal einen VR V über K.
Wie ist der zu V duale Raum definiert?
Woraus besteht dieser Raum? Das solltest Du wissen.
Sei nun V dreidimensional und [mm] B:=(v_1, v_2, v_3) [/mm] eine Basis von V, also die Situation, die wir in Deiner Aufgabe haben.
>
> > Wie ist denn die zu einer Basis duale Basis definiert?
>
> Wenn ich eine Basis B von V habe, dann exsitieren lin. Abb.
> [mm]v_{i}[/mm] * s.d. für alle j [mm]v_{i}[/mm] * [mm](v_{j})[/mm]
>
>
> [mm]=\begin{cases} 1, & \mbox{ falls } \mbox{ i=j} \\
0, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
>
> somit erhalten ich Abb. und diese Menge A * ist die zu A
> duale Basis.
Aha.
Wir haben jetzt die Basis [mm] B:=(v_1, v_2, v_3).
[/mm]
Du hast gelernt:
dann gibt es drei lineare Abildungen [mm] v_1^{\*}, v_2^{\*}, v_3^{\*}, [/mm] welche eine Basis des Dualraumes [mm] V^{\*} [/mm] bilden.
Welche Dimension hat also der Dualraum?
Nun müssen wir natürlich noch herausfinden, wie die Abbildungen [mm] v_1^{\*}, v_2^{\*}, v_3^{\*} [/mm] definiert sind.
Wir halten zunächst fest: es sind lineare Abbildungen, welche aus dem dreidimensionalen [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbilden.
Also kennen wir die Abbildungen, wenn wir ihre Werte auf einer Basis kennen.
Und genau das können wir nachlesen in dem, was Du selber schreibst:
[mm] v_1^{\*}:\IR^3\to \IR [/mm] ist die Abbildung, welche durch [mm] v_1^{\*}
[/mm]
[mm] v_1^{\*}(v_1):=1
[/mm]
[mm] v_1^{\*}(v_2):=0
[/mm]
[mm] v_1^{\*}(v_3):=0
[/mm]
definiert ist.
Damit könntest Du, wenn Du wolltest, die Darstellungsmatrix von [mm] v_1^{\*} [/mm] bzgl. der Basis B im [mm] \IR^3 [/mm] und der Basis [mm] S_1:=(1) [/mm] im [mm] \IR [/mm] aufstellen.
Wie lautet sie?
Wenn Du die Darstellungsmatrix von [mm] v_1^{\*} [/mm] bzgl der kanonischen Basis [mm] S_3 [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] angeben möchtest, mußt Du Dir überlegen, worauf die Standardbasisvektoren abgebildet werden.
Dassselbe Spielchen dann noch für die beiden anderen Basisvektoren [mm] v_2^{\*} [/mm] und [mm] v_3^{\*}.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> So haben wir das in der VL definiert. Somit habe ich eine
> Menge von Abb. die entweder 1 oder 0 sind, ist das
> richtig?
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