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| Aufgabe | Ein hohler Kegel hat innen den Grundkreisradius a und auch die Höhe a. Er wird, wenn die Spitze oben ist, bis zur HÖhe 1/2 a mit Wasser gefüllt. Dann dreht man die Spitze nach unten.
Wie hoch steht nun das Wasser in dem Kegel ? |
Habe Volumen vom Wasser, vom Kegel und der Luft sowie die Grundfläche vom umgedrehten Kegel (bleibt immer gleich).
Komme nicht weiter, und brauche die Aufgabe dringend, weil ich demnächst eine Arbeit schreibe.
Bitte deshalb um möglichst "hilfreiche" Antwort.
Dankeschön im Voraus!
Draven
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Diese Aufgabe kann man fast ganz ohne Rechnung lösen, wenn man sich geschickt anstellt. Man muß sich Folgendes vor Augen führen: Wenn man einen Kegel parallel zur Grundfläche durchschneidet, so zerfällt der Kegel in einen Kegelstumpf und einen Restkegel. Der Restkegel ist aber zum Gesamtkegel ähnlich.
Wenn nun das Wasser bis zur halben Höhe steht, dann hat auch der wasserfreie Restkegel die halbe Höhe. Mit anderen Worten: Der Restkegel entsteht aus dem Gesamtkegel durch Streckung mit dem Faktor [mm]\lambda = \frac{1}{2}[/mm]. Das Volumen ist dann mit dem Faktor [mm]\lambda^3 = \frac{1}{8}[/mm] (drei Dimensionen) zu multiplizieren, es beträgt daher nur [mm]\frac{1}{8}[/mm] des Gesamtvolumens. Damit nimmt das Wasser im Kegelstumpf [mm]\frac{7}{8}[/mm] des Gesamtvolumens ein.
Wenn nun der Kegel umgedreht wird, so befindet sich das Wasser in einem Teilkegel, der [mm]\lambda'^{\, 3} = \frac{7}{8}[/mm] des Volumens ausmacht. Er entsteht aus dem Gesamtkegel also durch Streckung mit dem Faktor [mm]\lambda' = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} \approx 0{,}956[/mm]. Das Wasser hat also eine Höhe von etwa 95,6 % der Gesamthöhe.
Du kannst diese Aufgabe statt mit dem Faktor [mm]\lambda = \frac{1}{2}[/mm] auch mit jedem anderen Faktor kleiner 1 lösen. Sie läuft dann auf die Bestimmung von [mm]\lambda' = \sqrt[3]{1 - \lambda^3}[/mm] hinaus.
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