Dreifachintegral Körpervolumen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mi 29.12.2010 | | Autor: | hanzzz |
| Aufgabe | | Gesucht ist das Volumen des aus vier Teilen bestehenden Körpers, der von [mm] z=x^2+y^2 [/mm] und [mm] z=\sqrt{| x^2-y^2 | } [/mm] begrenzt wird. |
Meiner Meinung nach müsste dies ein Dreifachintegral folgender Form sein.
[mm] 4*\int_0^1 \int_{-x}^x \int_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2-y^2}} \! [/mm] 1 [mm] \, [/mm] dz dy dx
Grenzen in x sind die Schnittpunkte der beiden Flächen, also bei 0 und bei 1, in z die beiden Flächen selbst, aber in y?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hanzzz, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast die Betragsstriche unter der Wurzel noch nicht gewürdigt. Sie führen dazu, dass der Körper die in der Aufgabenstellung genannten vier Teile hat. Wie sehen denn die beiden Flächen aus?
Überleg Dir mal, welche Symmetrie der Körper aufweist, dann findest Du zugleich heraus, ob man besser ein Viertel davon berechnet oder zwei. Und damit solltest Du dann auch die Integrationsgrenzen bestimmen können.
Unter Umständen ist es hier einfacher, nur ein Doppelintegral aufzustellen, aber das ist weitestgehend Geschmackssache.
Grüße
reverend
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Hallo hanzzz! Auch hier zuhause?
Durch Gleichsetzen der [mm]z[/mm]-Werte bekommt man die Projektion der Schnittkurve in die xy-Ebene:
[mm]x^2 + y^2 = \sqrt{\left| x^2 - y^2 \right|} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( x^2 + y^2 \right)^2 = \left| x^2 - y^2 \right|[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \ \ \left( x^2 + y^2 \right)^2 = x^2 - y^2 \ \ \text{oder} \ \ \left( x^2 + y^2 \right)^2 = y^2 - x^2[/mm]
Das ist die Überlagerung zweier ![[]](/images/popup.gif) Lemniskaten, die sich rechtwinklig kreuzen. Das Integrationsgebiet ist daher das Innere mit Rand der Doppel-Lemniskate. Aus Symmetriegründen genügt es, die Integration über einen der vier Schlaufenbereiche zu erstrecken und das Integral zu vervierfachen. Nimmt man etwa die rechte Schlaufe, so ist das die Menge [mm]S[/mm] der Punkte [mm](x,y)[/mm], für die in Polarkoordinaten
[mm]- \frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{\pi}{4} \, , \ \ 0 \leq r \leq \sqrt{\cos(2t)}[/mm]
gilt (es empfiehlt sich daher, das Integral später mittels Polarkoordinaten zu transformieren). Um zu sehen, welcher der beiden Graphen
[mm]f(x,y) = x^2 + y^2 \, , \ \ g(x,y) = \left| x^2 - y^2 \right|[/mm]
über [mm]S[/mm] weiter oben liegt, genügt es, einen einzigen Punkt aus dem Schleifeninneren einzusetzen.
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