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Dreifachintegral: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:29 Sa 26.05.2012
Autor: mike1988

Aufgabe
Man bestimme das Volumen des räumlichen Bereichs, der innerhalb der Sphäre [mm] x^2+y^2+z^2=4*z [/mm] und über dem Kegel [mm] x^2+y^2=z^2 [/mm] liegt! (Zylinderkoordinaten!)

Hallo und guten Morgen!

Auch bei diesem Beispiel habe ich so meine Schwierigkeiten:

Ich habe diesen Körper in 2 Abschnitte unterteilt:

[][Externes Bild http://img5.fotos-hochladen.net/thumbnail/ddd5n8ohkjle0_thumb.jpg]

1) Obere Hälfte der Kugel
2) unterer Kegel

Für die obere Halbkugel habe ich folgende Grenzen ermittelt:

0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2
0 [mm] \le \nu \le 2*\pi [/mm]
2 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2+ [mm] \wurzel{4-r^2} [/mm]

Als Ergebnis erhalte ich ein Volumen von [mm] \bruch{16*\pi}{3} [/mm] .... das sollte noch passen!

Für den unteren Kegel habe ich folgende Grenzen ermittelt:

0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2
0 [mm] \le \nu \le 2*\pi [/mm]
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] r


Als Ergebnis erhalte ich ein Volumen von [mm] \bruch{16*\pi}{3} [/mm] .... und da liegt meiner Meinung nach der Fehler!?!?! Das Volumen sollte doch eher [mm] \bruch{8*\pi}{3} [/mm] oder?? Ich finde allerdings keinen Fehler!! :-(

Als Gesamtergebniss lt. Lösung sollten 8 * [mm] \pi [/mm] heraus kommen, was auch der Fall wäre, wenn ich beim Kegel ein Volumen von [mm] \bruch{8*\pi}{3} [/mm] erhalten würde!!

Könnte mir jemand einen Hinweis geben, mit welchen Grenzen ich das VOlumen des Kegels berechnen kann, bzw, ob der Rest der Rechnung so in Ordnung ist???


Vielen Dank!!


        
Bezug
Dreifachintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Sa 26.05.2012
Autor: Leopold_Gast

Der Winkel variiert jeweils im Intervall [mm][0,2\pi][/mm].

Die richtigen Grenzen für [mm]r,z[/mm] sind, wenn man mit der Integration über [mm]z[/mm] beginnt:

- bei der Halbkugel:  [mm]2 \leq z \leq 4 \, , \ \ 0 \leq r \leq \sqrt{4z - z^2}[/mm]

- beim Kegel:  [mm]0 \leq z \leq 2 \, , \ \ 0 \leq r \leq z[/mm]


Wenn man mit der Integration über [mm]r[/mm] beginnt, sind die Grenzen

- bei der Halbkugel:  [mm]0 \leq r \leq 2 \, , \ \ 0 \leq z \leq 2 + \sqrt{4 - r^2}[/mm]

- beim Kegel:  [mm]0 \leq r \leq 2 \, , \ \ r \leq z \leq 2[/mm]

Die erste Methode scheint mir die einfachere.

Bezug
                
Bezug
Dreifachintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:33 Sa 26.05.2012
Autor: mike1988

SPitze, vielen vielen Dank!!

Lg

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