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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Do 20.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Folgende zwei Aufgaben, leider habe ich keinen konkreten Lösungsansatz:
1.) Beweisen Sie, dass für alle x,y [mm] \varepsilon \IR [/mm] gilt |x+y| [mm] \le [/mm] |x| + |y| und erklären Sie die Bezeichnung Dreiecksungleichung. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass für x [mm] \le [/mm] y und x' [mm] \le [/mm] y' folgt x+x' [mm] \le [/mm] y+y'
2.) Zeigen Sie die Gültigkeit der Minus-Dreiecksungleichung:
||x| - |y|| [mm] \le [/mm] |x+y|
Wie geht man an solche Aufgabentypen am besten ran?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Do 20.10.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Commotus,
zu 2. müssten da nicht auch Betragsstriche hin?
dann ginge folgendes:
[mm] |a-b|=|a+(-b)|\le|a|+|-b|=|a|+|b|
[/mm]
vorerst nur als Mitteilung
lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Do 20.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Hallo Herby,
was meinst du mit "Müssten da nicht auch Betragsstriche hin"?
Die zweite Aufgabe lautet, die Gültigkeit dieser Ungleichung zu beweisen.
||x| - |y|| [mm] \le [/mm] |x + y |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Do 20.10.2005 | | Autor: | Herby |
ich meinte das so:
||x| - |y|| [mm]\le[/mm] |x| + |y|
da dummerweise [mm] |x+y|\le|x|+|y| [/mm] ist, was ja dann wieder zurückführen würde.
Deshalb hatte ich die Frage ja auch offen gelassen und nur eine Mitteilung geschrieben. Ich überleg mir noch was neues.
Die Dreiecksungleichung mit den komplexen Zahlen zu beweisen ist irgendwie anschaulicher.
Oder mit Vektoren, denn da gilt ja, dass in einem Dreieck die Summe der einzelnen Seiten größer sein muss als die gegenüberliegende Seite.
Nimmst du hier die Beträge, dann folgt daraus die Ungleichung.
Bis hier erstmal
lg
Herby
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> Folgende zwei Aufgaben, leider habe ich keinen konkreten
> Lösungsansatz:
>
> 1.) Beweisen Sie, dass für alle x,y [mm]\varepsilon \IR[/mm] gilt
> |x+y| [mm]\le[/mm] |x| + |y| und erklären Sie die Bezeichnung
> Dreiecksungleichung. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass für
> x [mm]\le[/mm] y und x' [mm]\le[/mm] y' folgt x+x' [mm]\le[/mm] y+y'
Benutze den Hinweis. x [mm] \le [/mm] |x| , y [mm] \le|y| [/mm] ==> x+y [mm] \le... [/mm] Weiter ist -x [mm] \le [/mm] |x| , -y [mm] \le|y| [/mm] ==>...
Versuch's mal!
> 2.) Zeigen Sie die Gültigkeit der
> Minus-Dreiecksungleichung:
> ||x| - |y|| [mm]\le[/mm] |x+y|
[mm] |x|=|x+0|=...=|(x+y)+(-y)|\le... [/mm] ==> [mm] |x|-|y|\le...
[/mm]
Nun so ähnlich mit |y|, mit dem Ziel, etwas über (|x|-|y|) herauszufinden. Dann zusammenfassen.
Viel Erfolg
Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Do 20.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Könntest du mir bei der zweiten Aufgabe noch einen kleinen Hinweis geben?
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> Könntest du mir bei der zweiten Aufgabe noch einen kleinen
> Hinweis geben?
Es läft auf eine Ungleichung lxl-lyl [mm] \le [/mm] lx-yl
und eine Ungleichung lyl-lxl [mm] \le [/mm] lx-yl hinaus, woraus man auf l lxl-lyl l schließen kann.
Zeig doch mal, was Du bisher gerechnet hast.
Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Do 20.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Bislang habe ich nur:
|x| = |x+0| = |x+y +(-y)| = |(x+y) + (-y)| [mm] \le [/mm] |x+y| + |-y|
|y| = |y+0| = |y+x +(-x)| = |(x+y) + (-x)| [mm] \le [/mm] |x+y| + |-x|
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Do 20.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Commotus
> Bislang habe ich nur:
>
> |x| = |x+0| = |x+y +(-y)| = |(x+y) + (-y)| [mm]\le[/mm] |x+y| +
> |-y|
|-y|=|y| und auf die andere Seite bringen.
> |y| = |y+0| = |y+x +(-x)| = |(x+y) + (-x)| [mm]\le[/mm] |x+y| +
> |-x|
dasselbe wie oben!
aus beiden Ungleichungen folgt die Betragsungleichung!, da die erst ODER die zwite linke Seite pos!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Do 20.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Vielen Dank für eure Hilfe, nun hab ich's.. ;)
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