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Dreiecksungleichung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Mo 10.07.2006
Autor: g_hub

Aufgabe
Zeigen Sie: Durch [mm] d:\IN\times\IN [/mm] mit [mm] d(m,n)=\bruch{|m-n|}{mn} [/mm] ist eine Metrik auf [mm] \IN [/mm] gegeben

Das war eine Klausuraufgabe, und irgendwie hab ich die Dreiecksungleichung nich hinbekommen... kann mir mal jmd dafür die Lösung bzw. den entscheidenden Hinweis posten, ich wüßte gern wie's geht...

danke schonmal

        
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Dreiecksungleichung: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Mo 10.07.2006
Autor: Karthagoras

Hallo g_hub,

> Zeigen Sie: Durch [mm]d:\IN\times\IN[/mm] mit
> [mm]d(m,n)=\bruch{|m-n|}{mn}[/mm] ist eine Metrik auf [mm]\IN[/mm] gegeben

Stand da nicht eher: [mm]d:\IN\times\IN \color{magenta}\to \IQ \color{black}\quad\ldots[/mm] oder so ähnlich?

Gruß Karthagoras

Bezug
        
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Dreiecksungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Mo 10.07.2006
Autor: g_hub

Gemeint ist
[mm] d:\IN\times\IN\to\IR [/mm]
sorry, tippfehler

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Dreiecksungleichung: Viele Fälle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Mo 10.07.2006
Autor: Karthagoras

Hallo g_hub,

Das schreit nach ner Fallunterscheidung:

[mm]\begin{matrix}d(x,y)+d(y,z) &=& \frac{\left|x-y\right|}{xy}+\frac{\left|y-z\right|}{yz}\\ &=& \frac{z\left|x-y\right|}{xyz}+\frac {x\left|y-z\right|}{xyz}\\ &=& \begin{cases} \frac{xz-yz+xy-xz}{xyz}=\frac{x-z}{xz}, & \mbox{für } x\ge y \ge z\\ \frac{xz-yz-xy+xz}{xyz}, & \mbox{für } x\ge y \wedge z>y\\ \frac{-xz+yz+xy-xz}{xyz}, & \mbox{für } x< y \wedge z\le y\\ \frac{-xz+yz-xy+xz}{xyz}=\frac{z-x}{xz}, & \mbox{für } x< y< z \end{cases}\\ &=& \begin{cases} \frac{\left|x-z\right|}{xz}=d(x,z), \quad \mbox{für } x\ge y\ge z\\ \frac{2xz-yz-xy}{xyz}\ge \begin{cases}\frac{2yz-yz-xy}{xyz}=\frac{yz-xy}{xyz}=\frac{z-x}{xz}=d(x,z), & \mbox{für }z\ge x \ge y\\ \frac{2xy-yz-xy}{xyz}=\frac{xy-yz}{xyz}=\frac{x-z}{xz}=d(x,z),& \mbox{für }x>z > y \end{cases}\\ \frac{xy+yz-2xz}{xyz} \ge \begin{cases}\frac{xy+yz-2xy}{xyz}=\frac{yz-xy}{xyz}=\frac{z-x}{xz}=d(x,z), & \mbox{für }x\le z \le y\\ \frac{xy+yz-2yz}{xyz}=\frac{xy-yz}{xyz}=\frac{x-z}{xz}=d(x,z),& \mbox{für }z< x < y \end{cases} \\ \frac{\left|x-z\right|}{xz}=d(x,z), \quad \mbox{für } x< y< z \end{cases} \end{matrix} [/mm]

Wenn ich jetzt noch kontrolieren müsste, ob da jetzt genau ein [mm] \le [/mm] oder ein < hingehört, dreh ich durch.
Ich hoffe, die stimmen alle. (Für Gleichheit sollte es sowieso trivial sein.)

Gruß Karthagoras

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