Dreiecksmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Do 04.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Seien R ein kommutativer Ring und n [mm] \in \IN.Man [/mm] beweise,dass die oberen Dreiecksmatrizen in [mm] R^{n \times n} [/mm] mit der Matrixaddition und der Matrixmultiplikation einen Ring bilden.Man beweise,dass dieser Ring für n [mm] \ge [/mm] 2 nicht kommutativ ist. |
Guten Abend^^
Ich versuche grad diese Aufgabe zu lösen und weiß eigentlich auch schon wie ich das mache,aber es gibt ein paar kleine Probleme.
1. Wir haben die oberen Dreiecksmatrizen in [mm] R^{n \times n}.Was [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist,weiß ich.Wir hatten uns aufgeschrieben [mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & ...a_{m1} \\ 0 & a_{22} & \\ 0 & 0 & a_{mn} } [/mm] eine Dreiecksmatirx ist.
So,mein Problem ist jetzt,dass ich nicht weiß,wie ich die Matrix für diese Aufgabe aufschreiben soll,denn es ist ja eine n [mm] \times [/mm] n Matrix, wie viele Zeieln und Spalten soll ich denn da machen?
2.Dann muss ich nachweisen,dass diese oberen Dreiecksmatrixen mit der Matrixaddition und Matrixmultiplikation einen Ring bilden,d.h. ich muss nachweisen,dass:
[mm] 1.(R^{n \times n},+) [/mm] ist abelsche Gruppe
[mm] 2.\exists [/mm] 1 [mm] \in (R^{n \times n},+): \forall [/mm] r [mm] \in R^{n \times n} [/mm] r*1=r=1*r,
[mm] \forall [/mm] r,s,t [mm] \in R^{n \times n}: [/mm] (r*s)*t=r*(s*t)
3.Distributivgesetze
Was mich hier ein wenig verwirrt hat,war,dass in der Aufgabe stand,dass "...mit der Matrixaddition und Matrixmultiplikation einen Ring bilden".
Muss ich dann den 1. Punkt auch für die Multiplikation zeigen? Und (r*s)*t=r*(s*t) auch für die Addition?
So,diese Fragen müssen zuerst geklärt werden,bevor ich irgendetwas beweise.
Vielen Dank
lg
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Hi Mandy,
> Seien R ein kommutativer Ring und n [mm]\in \IN.Man[/mm]
> beweise,dass die oberen Dreiecksmatrizen in [mm]R^{n \times n}[/mm]
> mit der Matrixaddition und der Matrixmultiplikation einen
> Ring bilden.Man beweise,dass dieser Ring für n [mm]\ge[/mm] 2 nicht
> kommutativ ist.
> Guten Abend^^
>
> Ich versuche grad diese Aufgabe zu lösen und weiß
> eigentlich auch schon wie ich das mache,aber es gibt ein
> paar kleine Probleme.
>
> 1. Wir haben die oberen Dreiecksmatrizen in [mm]R^{n \times n}.Was[/mm]
> eine obere Dreiecksmatrix ist,weiß ich.Wir hatten uns
> aufgeschrieben [mm]A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & ...a_{m1} \\ 0 & a_{22} & \\ 0 & 0 & a_{mn} }[/mm]
> eine Dreiecksmatirx ist.
> So,mein Problem ist jetzt,dass ich nicht weiß,wie ich die
> Matrix für diese Aufgabe aufschreiben soll,denn es ist ja
> eine n [mm]\times[/mm] n Matrix, wie viele Zeieln und Spalten soll
> ich denn da machen?
jeweils $ n $.
>
> 2.Dann muss ich nachweisen,dass diese oberen
> Dreiecksmatrixen mit der Matrixaddition und
> Matrixmultiplikation einen Ring bilden,d.h. ich muss
> nachweisen,dass:
>
> [mm]1.(R^{n \times n},+)[/mm] ist abelsche Gruppe
> [mm]2.\exists[/mm] 1 [mm]\in (R^{n \times n},+): \forall[/mm] r [mm]\in R^{n \times n}[/mm]
> r*1=r=1*r,
> [mm]\forall[/mm] r,s,t [mm]\in R^{n \times n}:[/mm] (r*s)*t=r*(s*t)
> 3.Distributivgesetze
>
> Was mich hier ein wenig verwirrt hat,war,dass in der
> Aufgabe stand,dass "...mit der Matrixaddition und
> Matrixmultiplikation einen Ring bilden".
> Muss ich dann den 1. Punkt auch für die Multiplikation
> zeigen? Und (r*s)*t=r*(s*t) auch für die Addition?
Du kannst doch die Matrixaddition und -multiplikation in einfacher Weise in der Form $ [mm] \sum a_{ij}b_{jl} [/mm] $ schreiben. Die habt ihr definitiv im Skript stehen. Wenn nicht, überleg' dir einfach selbst, wie man das aufschreiben kann. Also: Wie multipliziert und addiert man denn Matrizen?
Wenn du das hast, musst du nur noch geschickt damit deinen Beweis führen.
>
> So,diese Fragen müssen zuerst geklärt werden,bevor ich
> irgendetwas beweise.
>
> Vielen Dank
> lg
>
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du kannst doch die Matrixaddition und -multiplikation in
> einfacher Weise in der Form [mm]\sum a_{ij}b_{jl}[/mm] schreiben.
> Die habt ihr definitiv im Skript stehen. Wenn nicht,
> überleg' dir einfach selbst, wie man das aufschreiben
> kann. Also: Wie multipliziert und addiert man denn
> Matrizen?
>
> Wenn du das hast, musst du nur noch geschickt damit deinen
> Beweis führen.
Also wir hatten uns die Matrixaddition so definiert:
[mm] (A+B)(i,j)=a_{ij}+b_{ij} [/mm] bzw. [mm] A+B=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ...a_{1n}+b_{1n} \\ ... & \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & ...a_{mn}+b_{mn} }.
[/mm]
Wekche Darstellung von beiden ist geschickter für meinen Beweis?Bei der 2. sehe ich das Problem,dass ich nicht weiß wie ich mit diesen ... umgehen soll.
Und die Matrixmultiplikation haben wir so definiert:
[mm] A*B=\summe_{k=1}^{n} a_{ik}*b_{kj}
[/mm]
So,jetzt könnte ich eigentlich mit dem Beweis beginnen,aber wenn ich die Matrizen so darstelle,woher weiß ich,dass das auch die oberen Dreiecksmatrizen sind.
Zu denen hatten wir uns aufgeschrieben,dass [mm] a_{ij}=0 [/mm] für alle i>j sein muss.
Muss ich dann in der Darstellung der Summe und des Produktes auch irgendwas verändern oder kann ich einfach festlegen,dass das meine oberen Dreiecksmatrizen sind?
lg
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> > Du kannst doch die Matrixaddition und -multiplikation in
> > einfacher Weise in der Form [mm]\sum a_{ij}b_{jl}[/mm] schreiben.
> > Die habt ihr definitiv im Skript stehen. Wenn nicht,
> > überleg' dir einfach selbst, wie man das aufschreiben
> > kann. Also: Wie multipliziert und addiert man denn
> > Matrizen?
> >
> > Wenn du das hast, musst du nur noch geschickt damit deinen
> > Beweis führen.
>
> Also wir hatten uns die Matrixaddition so definiert:
> [mm](A+B)(i,j)=a_{ij}+b_{ij}[/mm] bzw. [mm]A+B=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ...a_{1n}+b_{1n} \\ ... & \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & ...a_{mn}+b_{mn} }.[/mm]
>
> Wekche Darstellung von beiden ist geschickter für meinen
> Beweis?Bei der 2. sehe ich das Problem,dass ich nicht weiß
> wie ich mit diesen ... umgehen soll.
Überleg' dir doch lieber, was bzgl. Addition für einen Ring gelten muss. In der neuen Matrix stehen doch nur Summen mit je zwei Summanden. Das ist relativ überschaubar, selbst für $ n $ Zeilen und $ n $ Spalten.
>
> Und die Matrixmultiplikation haben wir so definiert:
>
> [mm]A*B=\summe_{k=1}^{n} a_{ik}*b_{kj}[/mm]
>
> So,jetzt könnte ich eigentlich mit dem Beweis
> beginnen,aber wenn ich die Matrizen so darstelle,woher
> weiß ich,dass das auch die oberen Dreiecksmatrizen sind.
> Zu denen hatten wir uns aufgeschrieben,dass [mm]a_{ij}=0[/mm] für
> alle i>j sein muss.
> Muss ich dann in der Darstellung der Summe und des
> Produktes auch irgendwas verändern oder kann ich einfach
> festlegen,dass das meine oberen Dreiecksmatrizen sind?
??
Du willst doch zeigen, dass die oberen Dreiecksmatrizen in $ [mm] \IR^{n \times n} [/mm] $ mit der Matrixmultiplikation einen Ring bilden.
Also brauchst du auch obere Dreiecksmatrizen. Was muss für $ A $ und $ B $ und folglich für das Produkt $ A*B $ dann jeweils gelten?
Ich hab' ein wenig das Gefühl, dass dir nicht so ganz klar ist, was die Aufgabenstellung von dir verlangt. Mach dir das klar, dann hast du zumindest das Ziel vor Augen.
>
> lg
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Also wir hatten uns die Matrixaddition so definiert:
> > [mm](A+B)(i,j)=a_{ij}+b_{ij}[/mm] bzw. [mm]A+B=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ...a_{1n}+b_{1n} \\ ... & \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & ...a_{mn}+b_{mn} }.[/mm]
>
> >
> > Wekche Darstellung von beiden ist geschickter für meinen
> > Beweis?Bei der 2. sehe ich das Problem,dass ich nicht weiß
> > wie ich mit diesen ... umgehen soll.
>
> Überleg' dir doch lieber, was bzgl. Addition für einen
> Ring gelten muss. In der neuen Matrix stehen doch nur
> Summen mit je zwei Summanden. Das ist relativ
> überschaubar, selbst für [mm]n[/mm] Zeilen und [mm]n[/mm] Spalten.
Für einen Ring muss gelten:
[mm] (R^{n \times n},+) [/mm] ist abelsche Gruppe,d.h.
1. (A+B)+C=A+(B+C)
2.e+G=G=G+e (neutr. Element)
3.H+G=e=G+H (inv.Element)
4.G+H=H+G (Kommutativität)
So, dann will ich 1. zeigen und muss mir jetzt eine obere Dreiecksmatrix A nehmen,kann ich dann schreiben [mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & ...a_{1n} \\ 0 & a_{22} \\ 0 & 0 & ...a_{mn} } [/mm] und [mm] B=\pmat{ b_{11} & b_{12} & ...b_{1n} \\ 0 & b_{22} \\ 0 & 0 & ...b_{mn} }?
[/mm]
Dann ist [mm] A+B=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ...a_{1n}+b_{1n} \\ 0 & a_{22}+b_{22} \\ 0 & 0 & ...a_{mn}+b_{mn} }
[/mm]
Dann schreib ich auch C so auf und addiere das dazu.
Kann ich das so machen?
>
> >
> > Und die Matrixmultiplikation haben wir so definiert:
> >
> > [mm]A*B=\summe_{k=1}^{n} a_{ik}*b_{kj}[/mm]
> >
> > So,jetzt könnte ich eigentlich mit dem Beweis
> > beginnen,aber wenn ich die Matrizen so darstelle,woher
> > weiß ich,dass das auch die oberen Dreiecksmatrizen sind.
> > Zu denen hatten wir uns aufgeschrieben,dass [mm]a_{ij}=0[/mm]
> für
> > alle i>j sein muss.
> > Muss ich dann in der Darstellung der Summe und des
> > Produktes auch irgendwas verändern oder kann ich einfach
> > festlegen,dass das meine oberen Dreiecksmatrizen sind?
>
> ??
> Du willst doch zeigen, dass die oberen Dreiecksmatrizen in
> [mm]\IR^{n \times n}[/mm] mit der Matrixmultiplikation einen Ring
> bilden.
>
> Also brauchst du auch obere Dreiecksmatrizen. Was muss für
> [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] und folglich für das Produkt [mm]A*B[/mm] dann jeweils
> gelten?
Für A und B muss jeweils gelten: [mm] a_{ij}=0 [/mm] für alle i>j und [mm] b_{ij}=0 [/mm] für alle i>j.Dann müsste für A*B gelten: a*b(i,j)=0 für alle i>j (i=Anzahl der Zeilen,j=Anzahl der Spalten) ?
lg
>
> Ich hab' ein wenig das Gefühl, dass dir nicht so ganz klar
> ist, was die Aufgabenstellung von dir verlangt. Mach dir
> das klar, dann hast du zumindest das Ziel vor Augen.
>
Ich muss doch alle Axiome für einen Ring durchgehen oder?
Mein Problem ist einfach,dass ich nicht weiß,wie ich eine n [mm] \times [/mm] n Matrix aufschreibe,damit ich die Axiome durchgehen kann.
lg
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Hi,
> > > Also wir hatten uns die Matrixaddition so definiert:
> > > [mm](A+B)(i,j)=a_{ij}+b_{ij}[/mm] bzw. [mm]A+B=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ...a_{1n}+b_{1n} \\ ... & \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & ...a_{mn}+b_{mn} }.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wekche Darstellung von beiden ist geschickter für meinen
> > > Beweis?Bei der 2. sehe ich das Problem,dass ich nicht weiß
> > > wie ich mit diesen ... umgehen soll.
> >
> > Überleg' dir doch lieber, was bzgl. Addition für einen
> > Ring gelten muss. In der neuen Matrix stehen doch nur
> > Summen mit je zwei Summanden. Das ist relativ
> > überschaubar, selbst für [mm]n[/mm] Zeilen und [mm]n[/mm] Spalten.
>
> Für einen Ring muss gelten:
> [mm](R^{n \times n},+)[/mm] ist abelsche Gruppe,d.h.
> 1. (A+B)+C=A+(B+C)
> 2.e+G=G=G+e (neutr. Element)
> 3.H+G=e=G+H (inv.Element)
> 4.G+H=H+G (Kommutativität)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So, dann will ich 1. zeigen und muss mir jetzt eine obere
> Dreiecksmatrix A nehmen,kann ich dann schreiben [mm]A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & ...a_{1n} \\ 0 & a_{22} \\ 0 & 0 & ...a_{mn} }[/mm]
> und [mm]B=\pmat{ b_{11} & b_{12} & ...b_{1n} \\ 0 & b_{22} \\ 0 & 0 & ...b_{mn} }?[/mm]
>
> Dann ist [mm]A+B=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ...a_{1n}+b_{1n} \\ 0 & a_{22}+b_{22} \\ 0 & 0 & ...a_{mn}+b_{mn} }[/mm]
>
> Dann schreib ich auch C so auf und addiere das dazu.
> Kann ich das so machen?
>
> >
> > >
> > > Und die Matrixmultiplikation haben wir so definiert:
> > >
> > > [mm]A*B=\summe_{k=1}^{n} a_{ik}*b_{kj}[/mm]
> > >
> > > So,jetzt könnte ich eigentlich mit dem Beweis
> > > beginnen,aber wenn ich die Matrizen so darstelle,woher
> > > weiß ich,dass das auch die oberen Dreiecksmatrizen sind.
> > > Zu denen hatten wir uns aufgeschrieben,dass [mm]a_{ij}=0[/mm]
> > für
> > > alle i>j sein muss.
> > > Muss ich dann in der Darstellung der Summe und des
> > > Produktes auch irgendwas verändern oder kann ich einfach
> > > festlegen,dass das meine oberen Dreiecksmatrizen sind?
> >
> > ??
> > Du willst doch zeigen, dass die oberen Dreiecksmatrizen
> in
> > [mm]\IR^{n \times n}[/mm] mit der Matrixmultiplikation einen Ring
> > bilden.
> >
> > Also brauchst du auch obere Dreiecksmatrizen. Was muss für
> > [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] und folglich für das Produkt [mm]A*B[/mm] dann jeweils
> > gelten?
>
> Für A und B muss jeweils gelten: [mm]a_{ij}=0[/mm] für alle i>j
> und [mm]b_{ij}=0[/mm] für alle i>j.Dann müsste für A*B gelten:
> a*b(i,j)=0 für alle i>j (i=Anzahl der Zeilen,j=Anzahl der
> Spalten) ?
Schreibe das Produkt $\ AB = C $ wie weiter oben in der Summendarstellung, dann gilt einfach $ [mm] c_{ij} \not= [/mm] 0$ für alle $ i > j $.
Führe zunächst den Beweis zur Addition zu Ende, dann hast du auf jeden fall ein Gefühl dafür entwickelt, wie du mit dem Produkt fertig wirst.
>
> lg
> >
> > Ich hab' ein wenig das Gefühl, dass dir nicht so ganz klar
> > ist, was die Aufgabenstellung von dir verlangt. Mach dir
> > das klar, dann hast du zumindest das Ziel vor Augen.
> >
>
> Ich muss doch alle Axiome für einen Ring durchgehen oder?
> Mein Problem ist einfach,dass ich nicht weiß,wie ich eine
> n [mm]\times[/mm] n Matrix aufschreibe,damit ich die Axiome
> durchgehen kann.
Für die Summe $ C = [mm] (c_{ij}) [/mm] $ sieht die Matrix doch im wesentlichen nicht anders aus, als $ A , B $.
Schreib' sie einfach so auf, wie man $ n [mm] \times [/mm] n $ Matrizen eben aufschreibt.
>
> lg
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Für einen Ring muss gelten:
> > [mm](R^{n \times n},+)[/mm] ist abelsche Gruppe,d.h.
> > 1. (A+B)+C=A+(B+C)
> > 2.e+G=G=G+e (neutr. Element)
> > 3.H+G=e=G+H (inv.Element)
> > 4.G+H=H+G (Kommutativität)
>
>
>
> >
> > So, dann will ich 1. zeigen und muss mir jetzt eine obere
> > Dreiecksmatrix A nehmen,kann ich dann schreiben [mm]A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & ...a_{1n} \\ 0 & a_{22} \\ 0 & 0 & ...a_{mn} }[/mm]
> > und [mm]B=\pmat{ b_{11} & b_{12} & ...b_{1n} \\ 0 & b_{22} \\ 0 & 0 & ...b_{mn} }?[/mm]
Ich glaube,ich muss mich selbst korrigieren,ist das so richtig wie ich es schon aufgeschrieben habe,oder ist das richtig: [mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{nn} } [/mm] ?
So,jetzt gehe ich alle Schritte Schritt für Schritt durch.
1.(A+B)+C=A+(B+C)
[mm] A+B=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{1n}+b_{1n} \\ 0 & a_{22}+b_{22} & a_{2n}+b_{2n} \\ 0 & 0 & a_{nn}+b_{nn} }
[/mm]
[mm] (A+B)+C=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{1n}+b_{1n} \\ 0 & a_{22}+b_{22} & a_{2n}+b_{2n} \\ 0 & 0 & a_{nn}+b_{nn} } +\pmat{ c_{11} & c_{12} & c_{1n} \\ 0 & c_{22} & c_{2n} \\ 0 & 0 & c_{nn} }
[/mm]
[mm] =\pmat{ (a_{11}+b_{11})+c_{11} & (a_{12}+b_{12})+c_{11} & (a_{1n}+b_{1n})+c_{1n} \\ 0 & (a_{22}+b_{22})+c_{22} & (a_{2n}+b_{2n})+c_{2n} \\ 0 & 0 & (a_{nn}+b_{nn})+c_{nn} }
[/mm]
[mm] =\pmat{ a_{11}+b_{11}+c_{11} & a_{12}+b_{12}+c_{11} & a_{1n}+b_{1n}+c_{1n} \\ 0 & a_{22}+b_{22}+c_{22} & a_{2n}+b_{2n}+c_{2n} \\ 0 & 0 & a_{nn}+b_{nn}+c_{nn} }
[/mm]
[mm] =\pmat{ a_{11}+(b_{11}+c_{11}) & a_{12}+(b_{12}+c_{11}) & a_{1n}+(b_{1n}+c_{1n}) \\ 0 & a_{22}+(b_{22}+c_{22}) & a_{2n}+(b_{2n}+c_{2n}) \\ 0 & 0 & a_{nn}+(b_{nn}+c_{nn}) }
[/mm]
=A+(B+C)
Damit hab ich doch 1. nachgewiesen oder?
Jetzt kommt 2.Das neutrale Element.Also eigentlich hätte ich gesagt,dass das neutrale Element die Nullmatrix ist,aber das kann doch nicht sein,denn dann ist es keine obere Dreiecksmatrix mehr oder?
Und für das Inverse brauche ich das neutrale Element.
4.Kommutativität:
[mm] A+B=\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{nn} }+\pmat{ b_{11} & b_{12} & b_{1n} \\ 0 & b_{22} & b_{2n} \\ 0 & 0 & b_{nn} }=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{1n}+b_{1n} \\ 0 & a_{22}+b_{22} \\ 0 & 0 & a_{mn}+b_{mn} }
[/mm]
[mm] =\pmat{ b_{11}+a_{11} & b_{12}+a_{12} & b_{1n}+a_{1n} \\ 0 & b_{22}+a_{22} \\ 0 & 0 & b_{mn}+a_{mn} }=B+A
[/mm]
Ist dann damit bewiesen,dass [mm] (R^{n \times n},+) [/mm] eine Gruppe ist ?
Dann kann ich nämlich zum nächsten Schritt kommen.
Jetzt muss ich zeigen,dass [mm] :\exists [/mm] 1 [mm] \in R^{n \times n}:\forall [/mm] r [mm] \in R^{n \times n}:r*1=r=1*r [/mm]
Das r ist dann [mm] =\pmat{ 1 & 1 & ...1 \\ 1 & 1 & ...1 \\ 1 & 1 & ...1 }
[/mm]
und [mm] \forall [/mm] A,B,C [mm] \in R^{n \times n}:(A*B)*C=A*(B*C)
[/mm]
Also hier kommt dann der zweite Teil der Aufgabe ins Spiel,denn das gilt ja nur für n=1,aber n=1 bedeutet auch,dass ich nur ein einziges Element in der Matrix habe,wie kann diese eine obere Dreiecksmatrix sein?
lg
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Hi Mandy,
> > > Für einen Ring muss gelten:
> > > [mm](R^{n \times n},+)[/mm] ist abelsche Gruppe,d.h.
> > > 1. (A+B)+C=A+(B+C)
> > > 2.e+G=G=G+e (neutr. Element)
> > > 3.H+G=e=G+H (inv.Element)
> > > 4.G+H=H+G (Kommutativität)
> >
> >
> >
> > >
> > > So, dann will ich 1. zeigen und muss mir jetzt eine obere
> > > Dreiecksmatrix A nehmen,kann ich dann schreiben [mm]A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & ...a_{1n} \\ 0 & a_{22} \\ 0 & 0 & ...a_{mn} }[/mm]
> > > und [mm]B=\pmat{ b_{11} & b_{12} & ...b_{1n} \\ 0 & b_{22} \\ 0 & 0 & ...b_{mn} }?[/mm]
>
> Ich glaube,ich muss mich selbst korrigieren,ist das so
> richtig wie ich es schon aufgeschrieben habe,oder ist das
> richtig: [mm]A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{nn} }[/mm]
> ?
Ich hab' das garnicht gesehen. Aber es muss natürlich letzteres, also die quadratische $ n [mm] \times [/mm] n $-Matrix sein.
Völlig richtig.
>
> So,jetzt gehe ich alle Schritte Schritt für Schritt
> durch.
> 1.(A+B)+C=A+(B+C)
>
> [mm]A+B=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{1n}+b_{1n} \\ 0 & a_{22}+b_{22} & a_{2n}+b_{2n} \\ 0 & 0 & a_{nn}+b_{nn} }[/mm]
>
> [mm](A+B)+C=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{1n}+b_{1n} \\ 0 & a_{22}+b_{22} & a_{2n}+b_{2n} \\ 0 & 0 & a_{nn}+b_{nn} } +\pmat{ c_{11} & c_{12} & c_{1n} \\ 0 & c_{22} & c_{2n} \\ 0 & 0 & c_{nn} }[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ (a_{11}+b_{11})+c_{11} & (a_{12}+b_{12})+c_{11} & (a_{1n}+b_{1n})+c_{1n} \\ 0 & (a_{22}+b_{22})+c_{22} & (a_{2n}+b_{2n})+c_{2n} \\ 0 & 0 & (a_{nn}+b_{nn})+c_{nn} }[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ a_{11}+b_{11}+c_{11} & a_{12}+b_{12}+c_{11} & a_{1n}+b_{1n}+c_{1n} \\ 0 & a_{22}+b_{22}+c_{22} & a_{2n}+b_{2n}+c_{2n} \\ 0 & 0 & a_{nn}+b_{nn}+c_{nn} }[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ a_{11}+(b_{11}+c_{11}) & a_{12}+(b_{12}+c_{11}) & a_{1n}+(b_{1n}+c_{1n}) \\ 0 & a_{22}+(b_{22}+c_{22}) & a_{2n}+(b_{2n}+c_{2n}) \\ 0 & 0 & a_{nn}+(b_{nn}+c_{nn}) }[/mm]
>
> =A+(B+C)
Sehr gut
>
>
> Damit hab ich doch 1. nachgewiesen oder?
>
> Jetzt kommt 2.Das neutrale Element.Also eigentlich hätte
> ich gesagt,dass das neutrale Element die Nullmatrix
> ist,aber das kann doch nicht sein,denn dann ist es keine
> obere Dreiecksmatrix mehr oder?
Doch, das war die richtige Idee. Für die Einträge oberhalb der Diagonale gibt es für die obere Dreiecksmatrix keine beschränkungen.
Siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) Wiki. Die Nullmatrix ist somit sowohl obere als auch untere Dreiecksmatrix.
> Und für das Inverse brauche ich das neutrale Element.
>
> 4.Kommutativität:
>
> [mm]A+B=\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{nn} }+\pmat{ b_{11} & b_{12} & b_{1n} \\ 0 & b_{22} & b_{2n} \\ 0 & 0 & b_{nn} }=\pmat{ a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{1n}+b_{1n} \\ 0 & a_{22}+b_{22} \\ 0 & 0 & a_{mn}+b_{mn} }[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ b_{11}+a_{11} & b_{12}+a_{12} & b_{1n}+a_{1n} \\ 0 & b_{22}+a_{22} \\ 0 & 0 & b_{mn}+a_{mn} }=B+A[/mm]
>
> Ist dann damit bewiesen,dass [mm](R^{n \times n},+)[/mm] eine Gruppe
> ist ?
Sofern du noch dran denkst $\ A+E = E+A $ nachzuweisen, ja. ( $\ E $ ist in diesem Fall natürlich nicht die Einheitsmatrix, sondern das neutrale Element bzgl. Addition - also die Nullmatrix)
>
> Dann kann ich nämlich zum nächsten Schritt kommen.
> Jetzt muss ich zeigen,dass [mm]:\exists[/mm] 1 [mm]\in R^{n \times n}:\forall[/mm]
> r [mm]\in R^{n \times n}:r*1=r=1*r[/mm]
> Das r ist dann [mm]=\pmat{ 1 & 1 & ...1 \\ 1 & 1 & ...1 \\ 1 & 1 & ...1 }[/mm]
>
> und [mm]\forall[/mm] A,B,C [mm]\in R^{n \times n}:(A*B)*C=A*(B*C)[/mm]
>
> Also hier kommt dann der zweite Teil der Aufgabe ins
> Spiel,denn das gilt ja nur für n=1,aber n=1 bedeutet
> auch,dass ich nur ein einziges Element in der Matrix
> habe,wie kann diese eine obere Dreiecksmatrix sein?
??
Wie du richtig sagst, musst du zeigen, dass ein neutrales Element bzgl. Multiplikation existiert. Wie kommst du denn auf die $ 1 [mm] \times [/mm] 1 $-Matrix?
Deine Elemente, mit denen du hier rumspielst, sind ausschliesslich(!) obere $ n [mm] \times [/mm] n $-Dreiecksmatrizen.
Also: Was kann das neutrale Element bzgl Multiplikation sein?
Grüße
ChopSuey
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> lg
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> Also: Was kann das neutrale Element bzgl Multiplikation
> sein?
Das neutrale Element müsste dann [mm] E=\pmat{ 1 & 0 & ...0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & ...1 } [/mm] sein oder?
Das Inverse muss ich hier doch nicht berechnen oder?
Dann muss ich noch zeigen,dass (A*B)*C=A*(B*C)
Aber das ist doch voll die lange Rechnung,muss ich hier wirklich die ganzen Axiome durchgehen,kann ich das nicht irgendwie anders zeigen?
Also in der Aufgabenstellung steht,dass R ein kommutativer Ring ist,vielleicht kann man damit irgendwas begründen und muss nicht alles durchrechnen?
Und dann muss ich noch zeigen,dass dieser Ring für [mm] n\ge [/mm] nicht kommutativ ist,d.h A*B=B*A gilt nur für n=1.
Also ich kann schon mal aufschreiben,dass
[mm] A*B=\pmat{ a_{11}*b_{11} & a_{12}*b_{12}+a_{12}*b_{22} & a_{11}*b_{1n}+a_{12}*b_{2n}+a_{1n}*b_{nn} \\ 0 & a_{22}*b_{22} & a_{22}+b_{2n}+a_{2n}*b_{nn} \\ 0 & 0 & a_{nn}*b_{nn} }
[/mm]
und [mm] B*A=\pmat{ b_{11}*a_{11} & b_{12}*a_{12}+b_{12}*a_{22} & b_{11}*a_{1n}+b_{12}*a_{2n}+b_{1n}*a_{nn} \\ 0 & b_{22}*a_{22} & b_{22}+a_{2n}+b_{2n}*a_{nn} \\ 0 & 0 & b_{nn}*a_{nn} }
[/mm]
Das ist ja offensichtlich nicht gleich, und ich muss zeigen,dass das nur für n=1 gleich ist.
Für n=1 würde das so aussehen: [mm] A*B=(a_{11})*(b_{11})=a_{11}*b_{11}=b_{11}*a_{11}=B*A
[/mm]
Ist damit schon bewiesen,dass der Ring für [mm] n\ge [/mm] 2 nicht kommutativ ist?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 09.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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