Dreiecke im n-Eck? < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Di 22.01.2008 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | Wieviel Dreiecke gibt es, die eine Seite mit dem n-Eck gemeinsam haben?
a) n=6
b) allgemeine Formel für n-Eck |
a)
Also Lösung hab ich: [mm] \pmat{ 6 \\ 3 } [/mm] = [mm] 6*5*4\3! [/mm] = 20
Das ist mir jedoch nicht so ganz klar. Ich hab mal versucht mir das grafisch zu veranschaulichen: Wenn ich hergehe und mir ein 6-Eck aufzeichne und alle möglichen Dreiecke einzeichne die genau eine Seite mit dem 6-Eck gemeinsam haben, dann kann ich doch folgendes machen:
Ich zeichne für jede Seite des 6-Ecks jeweils 2 Dreiecke ein. Denn ich ich hab 2 Ecken zur Verfügung, damit nur eine Seite mit dem 6-Eck übereinstimmt. Wenn ich das für alle 6 Seiten mache, komme ich doch auf 12 Möglichkeiten.
Aber die Lösung gibt 20 an.... .
b)
und bei b) hab ich als Lösung [mm] \pmat{ n \\ 3 } [/mm] = n*(n-4) für genau eine gemeinsame kante und [mm] \pmat{ n \\ 3 } [/mm] = n*(n-4)-n für genau 2 gem. Kanten. Nach meinen Überlegungen haut das aber leider auch nicht hin.
Kann mir diesbzgl. paar Denkanstöße geben? Wie man an solche Aufgaben rangeht und wie ich sie lösen kann.
Vielen Dank schonmal!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Di 22.01.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Torboe,
es wird nicht ganz klar, welcher geometrische Zusammenhang zwischen Dreiecken und n-Eck bestehen soll.
Mittelbar - durch Deine Überlegungen - wird klar, dass wohl
a) die Dreiecke genau eine Seite mit dem n-Eck gemeinsam haben sollen;
b) die dritte Ecke des Dreiecks mit einer Ecke des n-Ecks zusammenfallen soll.
Aber sind evtl. auch die Dreiecke erlaubt, deren dritte Ecke im Mittelpunkt des n-Ecks liegt?
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Di 22.01.2008 | | Autor: | Torboe |
also die 3. ecke des dreiecks soll mit der einer ecke des n-ecks zusammenfallen. und erlaubt sind nur die dreiecke bei denen jedes eck auch ein eck des n-ecks ist.
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Hallo!
Mit den Binominalkoeffizenten kommst du da nicht weiter.
Überlege mal so:
Betrachte zunächst nur EINE Seite des n-Ecks, das auch als Grundfläche des Dreiecks dienen soll. Wieviele solcher Dreiecke gibt es denn?
Und dann hat ein n-Eck auch n Seiten, die als Grundfläche dienen können. Allerdings würde man dabei einige Dreiecke mehrfach zählen, und zwar die, die zwei Seiten mit dem n-Eck gemeinsam haben. Die muß man noch abziehen. Man kommt dann auf eine sehr einfache Formel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Di 22.01.2008 | | Autor: | Torboe |
Betrachte zunächst nur EINE Seite des n-Ecks, das auch als Grundfläche des Dreiecks dienen soll. Wieviele solcher Dreiecke gibt es denn?
Also wenn ich alle Dreiecke zähle, auch die, die zwei Seiten mit dem n-Eck gemeinsam haben, komm ich auf n-2 Dreiecke (für [mm] n\ge3) [/mm] für EINE Seite.
Und dann hat ein n-Eck auch n Seiten, die als Grundfläche dienen können. Allerdings würde man dabei einige Dreiecke mehrfach zählen, und zwar die, die zwei Seiten mit dem n-Eck gemeinsam haben. Die muß man noch abziehen. Man kommt dann auf eine sehr einfache Formel.
Ok. Also wenn ein n-Eck n Seiten besitzt, dann wären es mit obiger Überlegung n*(n-2) Dreiecke. Abzüglich derer mit zwei gemeinsamen Seiten mit dem Dreieck: Davon gibt es n-Stück. Also komm ich auf n*(n-2)-n Dreiecke?!
Aber damit hab ich doch jetzt nur gezählt, wieviele Dreiecke ein n-Eck enthalten kann oder??
Gefragt waren aber doch die Anzahl der Dreiecke die EINE Seite mit dem n-Eck gemeinsam haben oder ZWEI Seiten mit dem n-Eck gemeinsam haben.
Die Lösung die ich oben angegeben habe stammt übrigens vom Prof und der hat das mit Binomialkoeffizient gelöst, sollte deswegen eigentlich stimmen... . hmmm.
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Hallo!
Genau so habe ich das gemeint.
Nun, die Anzahl der Dreiecke, die genau zwei Seiten mit dem n-Eck gemeinsam haben, beträgt naturgemäß n. Da gibts nix dran zu rütteln.
Die Anzahl, die ein oder zwei Seiten gemeinsam haben, berechnet man mit der Formel n*(n-2)-n=n*(n-3)
Und für die Anzahl der Dreiecke, die genau eine Seite gemeinsam haben, kannst du nochmal n abziehen, und kommst auf n*(n-4)
Dreiecke, deren Ecken mit denen des n-Ecks zusammenfallen, die jedoch keine Seite gemeinsame Seite mit dem n-Eck haben, werden von der Rechnung NICHT berücksichtigt.
Und wenn ich mir das für ein Sechseck überlege, komme ich auf 12 Dreiecke mit genau einer zusammenfallenden Seite, und demnach 18 mit ein oder zwei. (Das ist noch so übersichtlich, daß man das in der Vorstellung hinbekommt.)
Ich sehe da ehrlich gesagt nicht, wie man auf 20 kommen könnte, oder wie meine Formel mit dem Binominalkoeffizienten in Einklang gebracht werdenkönnte. Die Anzahl der Faktoren nimmt da ja immer weiter zu.
Oder sprechen wir doch von völlig unterschiedlichen Aufgabenstellungen?
Vielleicht hat auch der Prof zu kompliziert gedacht?
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