Dreiecke finden in Ebene < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 So 14.06.2015 | | Autor: | drossel |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie unter allen Dreiecken in der Ebene mit gegebenem Umfang 2s diejenigen Dreiecke mit dem größten Flächeninhalt. |
Ich weiss nicht ganz, wie ich weitermachen soll. Mein Anfang:
die Lösung steht in "Elemente der differential- und integralrechnung" von Johann August Grunert, aber ich verstehe sie ab einem Punkt komme ich nicht weiter.
Der Anfang:
Der Flächeninhalt, der maximal werden soll, nenne ich m. Die Seiten des Dreiecks bezeichne ich mit a,b und c.
Nun ziehe ich Herons Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks heran, und setze die Hälfte des Umfangs ein und setze das =m, weil ich diejenigen mit größtem Flächeninhalt suche:
m= [mm] \wurzel{s(s-a)(s-b)(s-c)}
[/mm]
Weiter soll man jetzt wohl beide Ausrücke ableiten, aber wonach, nach s, nach a, b oder c? Ich weiss nicht wirklich, wie ich konkret weiterrechnen soll.
Mag mir jemand weiterhelfen? Gruß
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Hallo drossel,
man kann es sich ja auch kompliziert machen.
> Bestimmen Sie unter allen Dreiecken in der Ebene mit
> gegebenem Umfang 2s diejenigen Dreiecke mit dem größten
> Flächeninhalt.
Da gibt es, wie man sich leicht vorstellen kann, nur eins. Da kann dann irgendwo irgendwie herumiegen...
> Ich weiss nicht ganz, wie ich weitermachen soll. Mein
> Anfang:
> die Lösung steht in "Elemente der differential- und
> integralrechnung" von Johann August Grunert, aber ich
> verstehe sie ab einem Punkt komme ich nicht weiter.
>
> Der Anfang:
> Der Flächeninhalt, der maximal werden soll, nenne ich m.
> Die Seiten des Dreiecks bezeichne ich mit a,b und c.
> Nun ziehe ich Herons Formel zur Berechnung des
> Flächeninhalts eines Dreiecks heran, und setze die Hälfte
> des Umfangs ein und setze das =m, weil ich diejenigen mit
> größtem Flächeninhalt suche:
> m= [mm]\wurzel{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/mm]
> Weiter soll man jetzt wohl beide Ausrücke ableiten, aber
> wonach, nach s, nach a, b oder c? Ich weiss nicht wirklich,
> wie ich konkret weiterrechnen soll.
Es ist nicht wirklich sinnvoll, drei Variablen einzuführen.
Nimm einfach ein Dreieck mit der Grundseite a und der Höhe h. Um eine maximale Fläche zu erreichen, muss es gleichschenklig sein. Das musst Du zeigen, aber das ist nicht schwierig.
Jetzt kannst Du Herons Formel nehmen - oder auch nicht. Es bleibt zu zeigen, dass der Flächeninhalt bei festem Umfang für [mm] h=\tfrac{1}{2}\wurzel{3}a [/mm] maximal wird. Finde dazu einen Ansatz.
Grüße
reverend
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> Mag mir jemand weiterhelfen? Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mo 15.06.2015 | | Autor: | fred97 |
s>0 ist fest.
Bestimme also das Maximum der Funktion
f(a,b,c)=s(s-a)(s-b)(s-c)
unter der nebenbedingung a+b+c=2s
Lagrange !
FRED
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