Dreieck im 3D Raum (Vektoren) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Fr 15.10.2004 | | Autor: | renguard |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi habe folgende Aufgabe gestellt:
Berechne die Koordinaten D, E, F.
D ist Seitenhalbiernde, E ist Winkelsymmetrale, F ist orthogonal und Höhe zu Punkt C
Gegeben:
A [mm] =\vektor{-1 \\ 1\\-1} [/mm] , B = [mm] \vektor{2 \\ 7\\-4} [/mm] und C = [mm] \vektor{5 \\ -21\\3}
[/mm]
Zeichnung (nicht maßstabsgetreu!!!!)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Habe berechnet:
[mm] \vec{a}=\vec{BC} =\vektor{2 \\ 7\\-4}+z \vektor{3 \\ -28\\7}; \vec{b}=\vec{AC} =\vektor{-1 \\ 1\\-1}+y \vektor{6 \\ -22\\4}; \vec{c}=\vec{BA} =\vektor{ 2\\ 7\\-4}+x \vektor{-3 \\ -6\\3}
[/mm]
Punkt D = [mm] \vektor{ \bruch{7}{2}\\ 7\\ -\bruch{1}{2}}
[/mm]
1. Frage
Um den Punkt E zu berechnen addiere ich ja die Einheitsschenkel an Punkt B. Ich erhalte aber dafür absolut seltsame Werte. Ist das richtig?? Falls ja gibt es einen anderen Weg diesen Punkt zu berechnen um an einen vernünftigen Vektor zu erhalten??? Denn ich muss nachher noch andere Aufgaben mit diesem Vektor lösen.
[mm] \vec{BE}= \vec{ c_{E}}+ \vec{ a_{E}} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -6\\3}/ \wurzel{54} [/mm] + [mm] \vektor{ 3\\ -28\\7}/ \wurzel{842}
[/mm]
2.Frage
Wie komme ich an die Koordinaten des Punktes F ???
Schon mal danke im vorraus...
Mfg
renguard
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: bmp) [nicht öffentlich]
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Grüße!
Ich weiß jetzt nicht, was ihr wie schon gemacht habt in dem Thema, daher meine Antwort mit Vorsicht genießen... hier, wie ich es machen würde:
Zu Punkt E:
Wenn $v$ der Vektor von $B$ nach $A$ ist und $u$ der Vektor von $B$ nach $C$, dann ist klar, dass $B + c [mm] \cdot [/mm] (u + v)$ die Gerade beschreibt, die durch $B$ geht und den Winkel halbiert. ($c [mm] \in \IR$).
[/mm]
EDIT: Ist mir selbst peinlich *Asche aufs Haupt streu*, dass ich das übersehen habe: natürlich müssen $u$ und $v$ noch normiert werden, damit das so funktioniert... danke für den Hinweis, Renguard! 
Berechne einfach den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Geraden durch $A$ und $C$.
Zu Punkt F:
Betrachte die Gerade durch $A$ und $B$ (als Punktmenge) und minimiere den Abstand zum Punkt $C$. Der Punkt auf der Geraden mit geringstem Abstand zu $C$ ist der Gesuchte Punkt.
Lars
P.S.: Wenn ihr Geraden im Raum und deren Schnittpunktberechnung bzw. Minimierung von Abständen noch nicht hattet, dann tut es mir leid - vergiß in dem Fall meine Antworten, dann bin ich auch überfragt. 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:08 Fr 15.10.2004 | | Autor: | renguard |
Das mit der Vektorengleichsetzung um den Schnittpunkt zu erhalten ist Logo.
Mit der Erechnung der Mittelsymmetrale mittels B + c* [mm] (\vec{u}+ \vec{v}) [/mm] muss ich dir wiedersprechen wie die Zeichnung deutlich zeigt:durch die addition erhälst du nämlich einen anderen Vektor
[Dateianhang nicht öffentlich]
Daher die Berechnung [mm] \vec{BE}= \vec{ c_{E}}+ \vec{ a_{E}} [/mm] mit den Einheitsvektoren die die Länge eins haben. Berechnung mit [mm] \vec{n_{E}}:= \bruch{\vec{n}}{ /\vec{n}/} [/mm] Was sich so in den Mathebüchern wiederfindet. Leider hab ich dafür noch keinen Beweis gefunden.
Das mit Punkt F ist ein guter Ansatz da muss ich nochmal nachschauen was ich da rüber finde.
Danke für die Hilfe
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: bmp) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo renguard,
> Das mit der Vektorengleichsetzung um den Schnittpunkt zu
> erhalten ist Logo.
>
> Mit der Erechnung der Mittelsymmetrale mittels B + c*
> [mm](\vec{u}+ \vec{v})[/mm] muss ich dir wiedersprechen wie die
> Zeichnung deutlich zeigt:durch die addition erhälst du
> nämlich einen anderen Vektor
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Daher die Berechnung [mm]\vec{BE}= \vec{ c_{E}}+ \vec{ a_{E}}[/mm]
> mit den Einheitsvektoren die die Länge eins haben.
> Berechnung mit [mm]\vec{n_{E}}:= \bruch{\vec{n}}{ /\vec{n}/}[/mm]
> Was sich so in den Mathebüchern wiederfindet. Leider hab
> ich dafür noch keinen Beweis gefunden.
Ja, du hast Recht, das muss man so machen. Zum Beweis überlege dir einfach mal:
Naja, was machst du denn dann? Im Prinzip ist dann doch die (Vektor-)Addition der entsprechenden Einheitsvektoren nichts anderes wie das errechnen der Diagonalen einer Raute (also das ausrechnen der Diagonalen eines Parallelogrammes mit vier gleich langen Seiten! ) mit Seitenlänge 1. Jetzt mußt du nochmal nachgucken, welche Eigenschaften eine Raute hat (oder selbst überlegen), dann ist der (geometrische) Beweis auch schon fertig.
Es ist hier auch nicht so wichtig, dass die beiden Vektoren, die du addierst, die Länge 1 haben, wichtig ist nur, dass sie gleich lang sind.
Anstatt [mm]\vec{BE}= \vec{ c_{E}}+ \vec{ a_{E}}[/mm] könntest du z.B. auch:
[mm]\vec{z}:= 2*\vec{ c_{E}}+ 2*\vec{ a_{E}}[/mm]
als Richtungsvektor der Geraden, welche durch die Punkte B und E geht, nehmen! (Dann hätte die Raute halt die Seitenlänge 2 anstatt 1! )
Schau dir auch mal das hier an:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathe-online.at/materialien/ursl/files/Rechnen.html#winkel
Liebe Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Renguard,
eine zweite Möglichkeit, den Punkt F zu finden, ist die folgende:
1) Der Punkt F liegt auf der Geraden AB, d.h.
[mm]\vec x_F = \begin{pmatrix} -1 \\1\\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
2) Die Vektor [mm]\vec {CF}[/mm] steht senkrecht auf der Geraden AB, d.h. das Skalarprodukt aus
[mm]\vec {CF} \quad und \quad \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
ist 0.
Ich hoffe, die Hinweise reichen, sonst frag noch einmal.
Gruß Sigrid
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