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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Fr 11.03.2011 | | Autor: | meso |
Hallo
Meine Aufgabe lautet:
Innerhalb eines gegebenen Dreiecks ABC ist der Punkt G so zu finden, dass sich die Flächeninhalte der Dreiecke AGB AGC BGC wie 1:2:3 verhalten.
Ich habe versucht eine Gleichung aufzustellen und bin auf das Ergebnis gekommen, dass h1 (Höhe des Dreieckes ABC) = 6* h2 (Höhe des Dreieckes AGB) ist, leider ist das nicht für alle Dreiecke gültig.
Kann mir bitte jemand helfen? Danke
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Hallo meso,
> Meine Aufgabe lautet:
> Innerhalb eines gegebenen Dreiecks ABC ist der Punkt G so
> zu finden, dass sich die Flächeninhalte der Dreiecke AGB
> AGC BGC wie 1:2:3 verhalten.
>
> Ich habe versucht eine Gleichung aufzustellen und bin auf
> das Ergebnis gekommen, dass h1 (Höhe des Dreieckes ABC) =
> 6* h2 (Höhe des Dreieckes AGB) ist, leider ist das nicht
> für alle Dreiecke gültig.
Wenn es jeweils die Höhe auf der Seite AB ist, dann schon. Siehe unten.
> Kann mir bitte jemand helfen? Danke
Sei F der Flächeninhalt von ABC.
Aus den geforderten Verhältnissen schließt man [mm] F_{AGB}=\frac{F}{6}, F_{AGC}=\frac{F}{3}, F_{BGC}=\frac{F}{2}.
[/mm]
Tipp (quasi Strahlensatz):
G muss auf der Parallele A'B' zu AB liegen, sodass die Höhe des Dreiecks ABC auf der Seite AB durch A'B' im Verhältnis 1:5 geteilt wird. Genau dann hat nämlich das Dreieck AGB den Flächeninhalt [mm] \frac{F}{6} [/mm] nach der Flächeninhaltsformel [mm] A=\frac{1}{2}gh, [/mm] denn die Grundseite g=AB der beiden Dreiecke ist gleich.
Analog gibt es für die anderen Seiten Parallelen durch das Dreieck, auf denen G liegen muss.
Schau am Ende, ob und wo es einen gemeinsamen Punkt der 3 Geraden gibt.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Sa 12.03.2011 | | Autor: | meso |
hallo ich habe das jetzt ausprobiert, ich habe das gleich gemacht dafor also auch dass die Höhe auf AB *1/6 das gleiche ist wie die Höhe des Dreieckes ABG. aber wenn ich das auf ein gleichseitiges Dreieck anwende dann bekomme ich 3 Dreiecke von denen AGC gleich groß ist wie BGC.
Ich habe dann jetzt zur jeweiligen Seite AB, AC, BC die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck eingezeichnet. bei AB 1/6* die dazugehöhrige Höhe, bei AC 2/6* die dazugehörige Höhe und bei BC 3/6 * die dazugehöhrige Höhe dann liegen die Punkte alle verschieden fallen also nicht zusammen und die Dreiecke AGC und BGC überlappen sich.
ist das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Sa 12.03.2011 | | Autor: | meso |
jetz habe ich nochmals in einem gleichseitigen Dreieck die jeweiligen Parallelen zu den Seiten des Dreieckes in den jeweiligen Höhen also 1/6, 2/6, 3/6 gezeichnet. Diese Parallelen zu den Seiten schneiden sich in in einem Punkt und wenn ich dann die Dreiecke AGB AGC BGC einzeichne dann schaut das so aus das die Dreiecke im Verhältniss 1:2:3 stehen. Ist das Richtig?
ich habe dann noch die Frage ob es dafür auch von der Theorie her eine bestimmte bezeichnung über diesen Punkt gibt oder ob das einfach der Punkt G ist der das Dreieck im Verhältniss 1:2:3 teilt?
Vielen Vielen Dank für die Hilfe!!!!!!!
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> jetz habe ich nochmals in einem gleichseitigen Dreieck die
> jeweiligen Parallelen zu den Seiten des Dreieckes in den
> jeweiligen Höhen also 1/6, 2/6, 3/6 gezeichnet. Diese
> Parallelen zu den Seiten schneiden sich in in einem Punkt
> und wenn ich dann die Dreiecke AGB AGC BGC einzeichne dann
> schaut das so aus das die Dreiecke im Verhältniss 1:2:3
> stehen. Ist das Richtig?
Das scheint meiner Anleitung zu entsprechen, die ich gerade
abgesandt habe.
> ich habe dann noch die Frage ob es dafür auch von der
> Theorie her eine bestimmte bezeichnung über diesen Punkt
> gibt oder ob das einfach der Punkt G ist der das Dreieck im
> Verhältnis 1:2:3 teilt?
Weshalb sollte dieser Punkt einen speziellen Namen verdienen ?
Für das Flächenverhältnis 1:1:1 wäre das schon was anderes -
aber jener Punkt hat schon einen Namen.
LG
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> hallo ich habe das jetzt ausprobiert, ich habe das gleich
> gemacht dafor also auch dass die Höhe auf AB *1/6 das
> gleiche ist wie die Höhe des Dreieckes ABG. aber wenn ich
> das auf ein gleichseitiges Dreieck anwende dann bekomme ich
> 3 Dreiecke von denen AGC gleich groß ist wie BGC.
> Ich habe dann jetzt zur jeweiligen Seite AB, AC, BC die
> Höhe in einem gleichseitigen Dreieck eingezeichnet. bei AB
> 1/6* die dazugehöhrige Höhe, bei AC 2/6* die
> dazugehörige Höhe und bei BC 3/6 * die dazugehöhrige
> Höhe dann liegen die Punkte alle verschieden fallen also
> nicht zusammen und die Dreiecke AGC und BGC überlappen
> sich.
>
> ist das richtig?
Nein, wenn du überlappende Dreiecke bekommst, machst
du offensichtlich etwas falsch.
Vermutlich hast du den Punkt G einfach "in die Mitte",
also auf die Höhe [mm] h_c [/mm] im Dreieck ABC, gesetzt.
Hier ein Rezept:
Zeichne dir ein Dreieck ABC (eher nicht ein gleichseitiges).
Zeichne die Höhe [mm] h_c [/mm] ein und unterteile sie in 6 gleich
lange Teilstrecken. Lege eine Parallele p zu AB durch den
Teilpunkt, der der Grundlinie AB am nächsten liegt.
Zeichne ebenso die Höhe [mm] h_b [/mm] (von B senkrecht auf AC)
ein und teile sie in 3 gleiche Teilstrecken. Lege die Parallele
q zu AC durch den Teilpunkt von [mm] h_b [/mm] , welcher AB am
nächsten liegt.
Dann muss der Schnittpunkt von p und q der gesuchte
Punkt G sein.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Sa 12.03.2011 | | Autor: | meso |
jetz habe ich nochmals in einem gleichseitigen Dreieck die jeweiligen Parallelen zu den Seiten des Dreieckes in den jeweiligen Höhen also 1/6, 2/6, 3/6 gezeichnet. Diese Parallelen zu den Seiten schneiden sich in in einem Punkt und wenn ich dann die Dreiecke AGB AGC BGC einzeichne dann schaut das so aus das die Dreiecke im Verhältniss 1:2:3 stehen. Ist das Richtig?
ich habe dann noch die Frage ob es dafür auch von der Theorie her eine bestimmte bezeichnung über diesen Punkt gibt oder ob das einfach der Punkt G ist der das Dreieck im Verhältniss 1:2:3 teilt?
Vielen Vielen Dank für die Hilfe!!!!!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Sa 12.03.2011 | | Autor: | meso |
ok
vielen vielen Dank für die Hilfe ist echt super Danke!!!!!!!
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