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| Aufgabe | Gegeben ist ein Dreieck ABC
A(6/-7)
B(2/5)
C (-6/-3)
Berechne den Hochpunkt H, den Umkreismittelpunkt U und den Schwerpunkt S. |
Mein Versuch um den Schwerpunkt zu berechnen:
H BC= [mm] \bruch{\pmat{ 2 & -6 \\ 5 & -3 }}{2} [/mm] = [mm] \vektor{-2\\ 1}
[/mm]
[mm] \overline{AH}BC= [/mm] HBC-A [mm] =\vektor{-2\\ 1}- \vektor{6\\ -7}=\vektor{-8\\ 6}
[/mm]
H [mm] AB=\bruch{\vektor{6 \\ -7}-\vektor{2 \\ 5}}{2}= \vektor{4 \\ -1}
[/mm]
[mm] \overline{CH} [/mm] AB= [mm] \vektor{4 \\ -1}-\vektor{-6 \\ -3}=\vektor{10 \\ 2}
[/mm]
Nun den Schnittpunkt berechnen:
[mm] S=\bruch{1}{3}* [/mm] (A*B*C)= [mm] \vektor{0,6666... \\ -1,6}
[/mm]
Stimmt das?
Und nun meine eigentliche Frage wie berechne ich mir mittels Vektoren den Umkreismittelpunkt und den Hochpunkt?
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Ja, du hast den Schwerpunkt richtig berechnet. Es geht aber (viel) einfacher, wenn du ein einziges Mal folgende etwas aufwendigere Überlegung durchführst:
Zeichne dir ein Dreieck ABC und irgendwo den Ursprung O des Koordinatensystems hin (das Koord.-Syst. selber brauchst du gar nicht). Zeichne nun von O aus die Ortsvektoren [mm] \overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}.
[/mm]
Dann ist der Ortsvektor des Mittelpunktes M der Strecke AB:
[mm] \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{m}= \overrightarrow{a}+0,5*\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+0,5*(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0,5*(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
[/mm]
(Zeichne M und [mm] \overrightarrow{m} [/mm] ein.)
Nun gehst du von M zu C, aber nur 1/3 der Wegstrecke. Dort liegt, wie du weißt, der Schwerpunkt S. Zeichne S ein und [mm] \overrightarrow{s}=\overrightarrow{OS}.
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{s}=\overrightarrow{m}+\overrightarrow{MC}/3=\overrightarrow{m}+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{m})/3=\overrightarrow{c}/3+\overrightarrow{m}*2/3=\overrightarrow{c}/3+0,5*(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})*2/3=\overrightarrow{c}/3+(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})/3=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})/3
[/mm]
Auf Deutsch: Beim nächsten Mal lässt du die gesamten Vektor-Überlegungen weg. Du addierst einfach alle 3 x-Komponenten der Eckpunkte und teilst durch 3 [mm] \mapsto x_{Schwerpunkt}, [/mm] du addierst alle 3 y-Komponenten der Eckpunkte und teilst durch 3 [mm] \mapsto y_{Schwerpunkt}.
[/mm]
Hier also: [mm] x_{Schwerpunkt}=(6+2-6)/3=2/3 [/mm] und [mm] y_{Schwerpunkt} [/mm] = (-7+5-3)/3 = -5/3, und fertig!
Diese Überlegungen gelten auch, wenn du im 3-dimensionalen Raum arbeitest: dann kommt nur noch eine z-Komponente dazu.
Höhenschnittpunkt: Du brauchst einen Vektor, der senkrecht au eine Seite steht. Zweidimensional gilt: Der Vektor [mm] \vektor{- b \\ a} [/mm] (und ein Vielfaches davon) steht senkrecht auf dem Vektor [mm] \vektor{a \\ b}. [/mm] Somit:
Suche [mm] \overrightarrow{h_1} [/mm] senkrecht zu [mm] \overrightarrow{AB}.
[/mm]
Gib die Gerade an, die in diese Richtung durch C geht. Auf dieser liegt. [mm] h_c. [/mm] Mache das selbe mit [mm] \overrightarrow{h_2} [/mm] senkrecht zu [mm] \overrightarrow{AC}. [/mm] gib die Gerade [mm] h_2 [/mm] an, die durch B geht. Auf ihr liegt [mm] h_b. [/mm] Wo wich die beiden Geraden schneiden, ist der Höhenschnittpunkt.
Dein letztes Problem müsstest du selber herausfinden können, wenn du die obigen Überlegungen nachvollziehen konntest.
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