Drehung einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Aufgabe in keinem anderm Forum gestellt.
Hallo, ich schreib bald ne Klausur in Mathe und bin gerade am alte Klausuren durchrechnen. Bei der folgenden weiß ich jetzt nicht ob mein Ansatz stimmt.
Hier erst mal meine Aufgabe:
Sei L: [mm] R^{3} [/mm] -> [mm] R^{3} [/mm] die Drehung mit dem Drehwinkel 45° = [mm] \bruch{ \pi}{2} [/mm] um die Drehachse Spann [mm] {(1,0,2)^{T}}. [/mm] Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von L bezüglich der Standardbasis [mm] e_{1}, e_{2} e_{3} [/mm] des [mm] R^{3}.
[/mm]
Hinweis: cos(45°)=sin(45°)= [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2}}. [/mm] Für jede Orthonormalbasis [mm] b_{1}, b_{2}, b_{3} [/mm] des [mm] R^{3} [/mm] gilt
[mm] L(e_{i})= \summe_{k=1}^{3}(e_{i}, b_{k})L (b_{k}).
[/mm]
Zunächsteinmal weiß ich nicht was das Wort "Spann" zu bedeuten hat, aber ich hoffe mal ich kann auch so die Aufgabe lösen.
Ich habe zunächst einmal die anderen beiden Ortogonalen Vektoren bestimmt.
[mm] b_{1}= \bruch{1}{ \wurzel{5}}* \pmat{ 1 \\ 0 \\ 2 }, b_{2}= \bruch{1}{ \wurzel{5}}* \pmat{ -2 \\ 0 \\ 1 }, b_{3}= \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
Dannach habe ich daraus eine Orthogonalbasis gebildet:
A= [mm] \pmat{ \bruch{1}{ \wurzel{5}} & 0 & \bruch{2}{ \wurzel{5}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \bruch{-2}{ \wurzel{5}} & 0 & \bruch{1}{ \wurzel{5}} }
[/mm]
Dannach habe ich in die Matrix M= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(a) & -sin(a) \\ 0 & sin(a) & cos(a) } [/mm] die 45° eingesetzt.
Und zum Abschluss habe ich dann [mm] A*M*A^{T} [/mm] gerechnet.
Mein Problem hierbei ist nur, dass ich ja jetzt die Standardbasis komplett bei meiner Rechnung außen vor gelassen habe. Und ich bin mir auch nicht ganz siche, ob das was ich ausgerechnet habe überhaupt die Darstellungsmatrix L ist.
Danke schon mal für die Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:06 Di 12.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Michael!
Du hast alles richtig gemacht, und das werde ich dir jetzt beweisen. 
Nach deiner Rechnung ist ja die $i$-te Spalte der Darstellungsmatrix gleich:
[mm] $AMA^Te_i$.
[/mm]
Nun gilt aber:
[mm] $AMA^Te_i$
[/mm]
[mm] $=AMTE_3A^Te_i$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{k=1}^3 \underbrace{AMe_k}_{=\, L(b_k)}e_k^TA^Te_i$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{k=1}^3 L(b_k)(\underbrace{Ae_k}_{=\, b_k})^Te_i$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{k=1}^3 \langle e_i,b_k \rangle L(b_k)$,
[/mm]
und das ist genau die Formel, die da stand.
Die Einheitsvektoren hast du also so verwurschtelt (was auch der übliche Weg ist), dass $A$ ja gerade die Basiswechselmatrix von der Basis [mm] $(b_1,b_2,b_3)$ [/mm] zur Standardbasis [mm] $(e_1,e_2,e_3)$ [/mm] ist.
Also: Alles richtig! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Viele Grüße
Stefan
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