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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Doppelverhältnis
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Doppelverhältnis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Mo 09.09.2019
Autor: Psychopath

Bleiben durch die Möbiustransformation eigentlich alle 6 Doppelverhältnisse konstant, oder nur das (a,b,c,d) ? Kennt da jemand ein gutes Buch. Gruß.
        
Bezug
Doppelverhältnis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Mo 09.09.2019
Autor: HJKweseleit

Bei der Möbius-Transformation bildest du 4 beliebige Punkte eines Kreises auf einen anderen Kreis ab und bekommst heraus, dass sie das selbe Doppelverhältnis haben.

Sagen wir mal, a,b,c und d werden auf A, B, C und D in dieser Reihenfolge abgebildet.

Dann gilt z. B. [mm] \bruch{a-b}{a-c}:\bruch{d-b}{d-c}=\bruch{A-B}{A-C}:\bruch{D-B}{D-C}= [/mm] x.

Hier wurden beim ersten Bruch immer das a bzw.A und das d bzw. D in Zähler und Nenner verwendet und die beiden anderen variiert. Genauso gut gilt aber auch:

[mm] \bruch{a-b}{a-d}:\bruch{c-b}{c-d}=\bruch{A-B}{A-D}:\bruch{C-B}{C-D} [/mm] = y.

Natürlich können x und y verschieden sein, falls deine Frage darauf abzielte.  

Beispiel:

a=5, b=5i, c=-5, d=-5i   (Kreis mit Radius 5 um den Ursprung),
A=7+4i, B=3i, C=1-4i, D=8-3i (Kreis mit Radius 5 um (4|0).

Dann ist [mm] \bruch{a-b}{a-c}:\bruch{d-b}{d-c}=\bruch{5-5i}{5+5}:\bruch{-5i-5i}{5-5i}=\bruch{5-5i}{5+5}*\bruch{-5-5i}{5i-5i}=\bruch{-50i}{-100i}=\bruch{1}{2}, [/mm]

aber [mm] \bruch{a-b}{a-d}:\bruch{c-b}{c-d}=\bruch{5-5i}{5+5i}:\bruch{-5-5i}{-5+5i}=\bruch{5-5i}{5+5i}*\bruch{-5+5i}{-5-5i}=\bruch{50i}{-50i}=-1 [/mm]

Wenn du Lust hast, kannst du das noch mal mit A, B, C und D nachrechnen, es ist eine schöne Übung.


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