Doppelte Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mo 02.02.2009 | | Autor: | capreme |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
x − [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] < arctan (x) < x für x > 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo allerseits :)
Ich sitze vor diese Aufgabe und verzweifle weil ich keinen Anfang finde.
Das heißt ich weiß nicht wie ich überhaupt starten soll.
Ich wollte anfangen, indem ich zeige:
arctan(x) < x
[mm] \gdw [/mm] x < tan(x)
So aber schon hier hab ich keine Ahnung mehr.
Würde mich über Hilfe freuen
mfg,
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mo 02.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich zeig Dir mal, wie man
arctan (x) < x (x>0)
beweist.
Setze $f(x) = x-arctan(x)$ für x [mm] \ge [/mm] 0
Dann ist $ f'(x)= [mm] \bruch{x^2}{1+x^2} [/mm] > 0$ für x>0
Für x>0 ist dann nach dem Mittelwertsatz:
$f(x) = f(x) - f(0) = f'(t)(x-0) = [mm] \bruch{t^2}{1+t^2}x [/mm] >0$
wobei t zwischen 0 und x.
Also ist $f(x) > 0$ für jedes x>0
FRED
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Hallo capreme!
Du kannst für diese Ungleichungen die Reihendarstellung des ![[]](/images/popup.gif) Arkustangens verwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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