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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Fr 03.02.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | In einer Vorlesung sitzen 64 Studenten und n Studentinnen. Jeder Student kennt genau 5 Studentinnen und jede Studentin 8 Studenten. Wie viele Studentinnen haben wir, wenn wir voraussetzen, dass "bekannt sein " eine symmetrische Relation ist? |
Sei vorausgestzt, dass bei "Erfolg" die Position $(i,j) = 1$ ist und 0 sonst.
Die Regel der doppelten Abzählung besagt doch, dass ich die 1er in der Matrix entweder durch die Summation der 1er in den Spalten oder durch Summation der 1er in den Zeilen bekomme...
Ich würde es hier so machen:
Ich zeichne mir eine $64 [mm] \times [/mm] n $ Matrix auf.
Immer wenn ein Student eine Studentin kennt (und vice versa), zeichne ich eine 1 ein, 0 sonst.
Ich erhalte jedoch keinen Informationsgewinn:
$8n + 56 [mm] \cdot [/mm] 5 = 64 [mm] \cdot [/mm] 5 + [mm] (n-5)\cdot [/mm] 8$
Es fällt das n weg und mündet in eine Trivialaussage...
Ich verstehe also nicht, wie hier die Regel der doppelten Abzählung angewendet werden könnte.
Übrigens:
Wenn alle 64 Studenten jeweis 5 Studentinnen kennen, heißt das doch lange nicht, dass es $64 [mm] \cdot [/mm] 5 $ Studentinnen gibt, sondern nur so viele Bekanntschaften;
es könnte ja (theoretisch, auch wenn unwahrscheinlich) sein, dass alle Studenten DIE GLEICHEN 5 Studentinnen kennen. Genauso kann es sein, dass alle n Studentinnen DIE GLEICHEN 8 Studenten kennen.
Meine Matrix habe ich genau nach dieser Extremsituation aufgebaut. Es sollte ja nichts an der (Mindest-)Anzahl der Studentinnen ändern.
Ich brauche also einen Tipp, wie ich die doppelte Abzählung hier anwenden kann. Wer kann mir da helfen?
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> In einer Vorlesung sitzen 64 Studenten und n Studentinnen.
> Jeder Student kennt genau 5 Studentinnen und jede Studentin
> 8 Studenten. Wie viele Studentinnen haben wir, wenn wir
> voraussetzen, dass "bekannt sein " eine symmetrische
> Relation ist?
> Sei vorausgestzt, dass bei "Erfolg" die Position [mm](i,j) = 1[/mm]
> ist und 0 sonst.
> Die Regel der doppelten Abzählung besagt doch, dass ich
> die 1er in der Matrix entweder durch die Summation der 1er
> in den Spalten oder durch Summation der 1er in den Zeilen
> bekomme...
>
> Ich würde es hier so machen:
> Ich zeichne mir eine [mm]64 \times n[/mm] Matrix auf.
> Immer wenn ein Student eine Studentin kennt (und vice
> versa), zeichne ich eine 1 ein, 0 sonst.
> Ich erhalte jedoch keinen Informationsgewinn:
> [mm]8n + 56 \cdot 5 = 64 \cdot 5 + (n-5)\cdot 8[/mm]
> Es fällt das n weg und mündet in eine Trivialaussage...
> Ich verstehe also nicht, wie hier die Regel der doppelten
> Abzählung angewendet werden könnte.
>
> Übrigens:
> Wenn alle 64 Studenten jeweis 5 Studentinnen kennen, heißt
> das doch lange nicht, dass es [mm]64 \cdot 5[/mm] Studentinnen gibt,
> sondern nur so viele Bekanntschaften;
> es könnte ja (theoretisch, auch wenn unwahrscheinlich)
> sein, dass alle Studenten DIE GLEICHEN 5 Studentinnen
> kennen. Genauso kann es sein, dass alle n Studentinnen DIE
> GLEICHEN 8 Studenten kennen.
> Meine Matrix habe ich genau nach dieser Extremsituation
> aufgebaut. Es sollte ja nichts an der (Mindest-)Anzahl der
> Studentinnen ändern.
>
> Ich brauche also einen Tipp, wie ich die doppelte
> Abzählung hier anwenden kann. Wer kann mir da helfen?
Hallo clemenum,
man kann doch ganz leicht eine notwendige Bedingung
für n aufstellen: wir können die Menge der Paare (x,y) ,
wobei x Student, y Studentin, x und y kennen einander,
doch leicht auf zwei Arten abzählen, nämlich aus Sicht
der Studenten und aus Sicht der Studentinnen.
Daraus kann man n berechnen. Eine weitere Frage
wäre dann allerdings noch, ob es einen entsprechenden
Graph bzw. eine Matrix mit genau 5 Einsen in jeder
Zeile und genau 8 Einsen in jeder Spalte überhaupt
gibt.
LG Al-Chw.
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