Doppelintegral (3) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man skizziere die Menge und berechne ihren Schwerpunkt:
A={(x,y) [mm] \in IR^2 [/mm] | -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 , 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1+x} [mm] \cup [/mm] {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 , 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le 1-x^2} [/mm]
Es sei A eine Fläche im [mm] \IR^2. [/mm] Eine Massendichte von A ist eine (integrierbare) Funktion [mm] \mu: [/mm] A [mm] \to \IR.
[/mm]
Der Massenmittelpunkt S = [mm] (x_s, y_s)von [/mm] A ist dann gegeben durch:
[mm] x_s:=\bruch{1}{M}\integral\integral x*\mu(x,y)dA [/mm]
[mm] y_s:=\bruch{1}{M}\integral\integral y*\mu(x,y)dA [/mm]
M:= [mm] \integral\integral \mu(x,y)dA [/mm] |
ich habe zunächst versucht die menge umzuschreiben:
[mm] A={(x,y)\in \IR^2 | -1 \le x \le 1 , 0 \le y \le 1+x,1-x^2}
[/mm]
ich wusste jetzt nicht genau wie ich [mm] y\le [/mm] 1+x und [mm] y\le 1-x^2 [/mm] notieren sollte, vielleicht wisst ihrs.
ich würde jetzt gern meine skizze hier reinstellen, gibts ne möglichkeit dass ich ein foto von meiner skizze hier reinstellen kann?
ich komme aber jetzt auch nicht weiter weil ich nicht weiß wie ich an die funktion [mm] \mu(x,y) [/mm] rankomme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Sa 08.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Skizze sollte ein Dreieck im 2. quadranten mit angesetztem parabelstueck im 1. Quadranten sein. sieht aus wie ne art Tortenstueck.
das [mm] \mu [/mm] ist die Massenbelegung, die ist wenn man einfach nach Schwerpunkt fragt 1. und M ist dann gleich der Flaeche.
Du musst aber da du ja 2 verschiedene fkt. hast das Integral in 2 Teile zerlegen.
Gruss leduart
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ja genau so sieht meine skizze aus ... nun hab ich den schwerpunkt berechnet aber ich glaube der stimmt nicht, weil bei mir kommt heraus [mm] x_s= \bruch{1}{24} [/mm] und [mm] y_s=\bruch{11}{15} [/mm]
meine zwischenergebnise lauten:
[mm] M_1 [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}\integral_0^{1+x} [/mm] 1 dy dx = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] M_2 =\integral_{0}^{1}\integral_0^{1-x^2} [/mm] 1 dy dx = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] x_{s1}=2*\integral_{-1}^0 \integral_0^{1+x} [/mm] x dy dx = [mm] \bruch{-1}{3}
[/mm]
[mm] x_{s2}=\bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \integral_0^1 \integral_0^{1-x^2} [/mm] x dy dx = [mm] \bruch{3}{8} [/mm]
[mm] x_s=x_{s1}+x_{s2}=\bruch{1}{24}
[/mm]
[mm] y_{s1}=2*\integral_{-1}^0 \integral_0^{1+x} [/mm] y dy dx = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] y_{s2}=\bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \integral_0^1 \integral_0^{1-x^2} [/mm] y dy dx = [mm] \bruch{2}{5} [/mm]
[mm] y_s=y_{s1}+y_{s2}=\bruch{1}{3}+\bruch{2}{5}=\bruch{11}{15}
[/mm]
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Hallo BlubbBlubb,
> ja genau so sieht meine skizze aus ... nun hab ich den
> schwerpunkt berechnet aber ich glaube der stimmt nicht,
> weil bei mir kommt heraus [mm]x_s= \bruch{1}{24}[/mm] und
> [mm]y_s=\bruch{11}{15}[/mm]
>
> meine zwischenergebnise lauten:
>
> [mm]M_1[/mm] = [mm]\integral_{-1}^{0}\integral_0^{1+x}[/mm] 1 dy dx =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]M_2 =\integral_{0}^{1}\integral_0^{1-x^2}[/mm] 1 dy dx =
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]x_{s1}=2*\integral_{-1}^0 \integral_0^{1+x}[/mm] x dy dx =
> [mm]\bruch{-1}{3}[/mm]
>
> [mm]x_{s2}=\bruch{3}{2}[/mm] * [mm]\integral_0^1 \integral_0^{1-x^2}[/mm] x
> dy dx = [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
>
> [mm]x_s=x_{s1}+x_{s2}=\bruch{1}{24}[/mm]
>
> [mm]y_{s1}=2*\integral_{-1}^0 \integral_0^{1+x}[/mm] y dy dx =
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]y_{s2}=\bruch{3}{2}[/mm] * [mm]\integral_0^1 \integral_0^{1-x^2}[/mm] y
> dy dx = [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
>
> [mm]y_s=y_{s1}+y_{s2}=\bruch{1}{3}+\bruch{2}{5}=\bruch{11}{15}[/mm]
Die Zwischenergebnisse stimmen bis auf [mm]x_{s}, \ y_{s}[/mm]
Der Massenmittelpunkt der gesamten Fläche ergibt sich zu:
[mm]x_{s}=\bruch{x_{s1}*M_{1}+x_{s2}*M_{2}}{M_{1}+M_{2}}[/mm]
[mm]y_{s}=\bruch{y_{s1}*M_{1}+y_{s2}*M_{2}}{M_{1}+M_{2}}[/mm]
Gruß
MathePower
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ok ich verstehe wie sich die formel zusammsetzte nämlich durch
[mm] x*M=x_1*M_1+ x_2*M_2 [/mm]
aber was hätte ich denn dann geometrisch gesehen mit x = [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] ausgerechnet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du haettest einfach die Summe von 2 Schwerpunkten ausgerechnet, etwas physikalisch sinnvolles nicht!
Ich find dass zwar Mathepower recht hat, das aber die Idee, dass du eigentlich das Gesamtintegral durch M teilen musst der Def. entspricht. und du rechnest nur das Gesamtintegral als Summe zweier einzelintegrale aus. Das find ich besser, als die nutzlosen einzelschwerpunkte auszurechnen und dann zu addieren.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst die 2 Einzelschwerpunkte nicht ausrechnen, addieren und dadurch den Gesamtschwerpkt rauskriegen!
Du musst zwar die 2 integrale addieren, - ohne 1/M- und das Ergebnis der Summe der Integrale durch M dividieren.
Stell dir vor, du wuerdest z. Bsp den Schwerpkt des Dreiecks in 2 Teilen rechnen, und dann durch die einzelmassen teilen, dann kaem doch auch nichts sinnvolles raus!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Sa 15.11.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
das seh ich danke
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