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| Aufgabe | | Eine lineare Abbildung [mm] \phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V induziert eine lineare Abbildung $ [mm] \phi\ [/mm] $* : W* [mm] \to [/mm] V* zwischen den Dualräumen und, mit nochmaliger Dualisierung eine lineare Abbildung $ [mm] \phi\ [/mm] $** : V** [mm] \to [/mm] W**. Zeigen Sie, unter der Benutzung der Einbettung V [mm] \to [/mm] V** (injektiv) und W [mm] \to [/mm] W** (injektiv) die Abbildung $ [mm] \phi\ [/mm] $** eine Fortsetzung von [mm] \phi [/mm] ist. |
Hi! Ich bin neu hier und habe eine Aufgabe an der ich nicht weiterkomme, hoffe hier meine ersehnte Hilfe zu finden. Zu zeigen ist, dass $ [mm] \phi\ [/mm] $** nix anderes ist als [mm] \phi [/mm] selber.
Ich hab mir mal Notizen gemacht, die für mich zu stimmen scheinen, aber irgendwie kann ich einen Knackpunkt nicht überwinden, in dem ich es schaffe die Einbettung der injektiven Funktionen mit einzubauen.
Hier erst mal meine Notizen:
[mm] \phi [/mm] : V$ [mm] \to [/mm] $W
$ [mm] \phi\ [/mm] $* : W*$ [mm] \to [/mm] $V*
W* = [mm] Hom(W,\IR)
[/mm]
V* = [mm] Hom(V,\IR)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f:W\to\IR \mapsto [/mm] g:V [mm] \to\IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g := f$ [mm] \circ \phi [/mm] $
$ [mm] \phi\ [/mm] $** : V**$ [mm] \to [/mm] $W**
[mm] \alpha [/mm] : V*$ [mm] \to\IR \mapsto \beta [/mm] $ : [mm] W*\to\IR
[/mm]
Des Weiteren:
V$ [mm] \to [/mm] $V** (injektiv)
v$ [mm] \mapsto[\alpha [/mm] $ : V*$ [mm] \to\IR [/mm] $]
Sei g [mm] \in [/mm] V*, dann ist g:V [mm] \to\IR
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] $(g) := g(v)$ [mm] \in\IR [/mm] $
W$ [mm] \to [/mm] $W** (injektiv)
w$ [mm] \mapsto [\beta [/mm] $ : W*$ [mm] \to\IR [/mm] $]
Sei [mm] f\in [/mm] W*, dann ist f: [mm] W\to\IR
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \beta [/mm] $(f) := f(w)$ [mm] \in\IR [/mm] $
[mm] \Rightarrow g(v)\to [/mm] f(w) = [mm] V\to [/mm] W
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 06.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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