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Divergenz zeigen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Fr 02.04.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $f_k(x) [/mm] = [mm] \frac{kx^2}{1 + kx^2}$, [/mm] $k [mm] \in \mathbb{N}$, [/mm] $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ bezüglich $||f|| := [mm] sup\{ |f(x)| \}$ [/mm] divergent ist.

Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $f_k(x) [/mm] = [mm] \frac{kx^2}{1 + kx^2}$, [/mm] $k [mm] \in \mathbb{N}$, [/mm] $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ bezüglich $||f|| := [mm] \integral_{a}^{b}{|f(t)| dt}$ [/mm] konvergent ist. (Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] arctan(x) = [mm] \infty$ [/mm] gilt.

Hallo,

bei der ersten Aufgabe ist mir zumindest schon einmal klar, warum die Folge divergent ist: Je größer k, desto steiler ist der Anstieg der Anstieg von [mm] $f_k$ [/mm] zwischen 0 und 1. Während also für alle $|x| < 1$ gilt, dass [mm] $f_k(x) \to [/mm] 0$ für $k [mm] \to \infty$ [/mm] gilt für $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$, dass [mm] $f_k(x) \to [/mm] 1$. Ist das korrekt? Wie kann ich das sauber beweisen?

Bei der zweiten Aufgabe bin ich ehrlich gesagt sprachlos, und ich frage mich, ob es hier einen Fehler gibt. Schließlich gilt doch [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] arctan(x) = [mm] \frac{\pi}{2}$? [/mm]

Danke und Gruß,

Martin

        
Bezug
Divergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Fr 02.04.2021
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass die Folge [mm]f_k(x) = \frac{kx^2}{1 + kx^2}[/mm],
> [mm]k \in \mathbb{N}[/mm], [mm]x \in [-1,1][/mm] bezüglich [mm]||f|| := sup\{ |f(x)| \}[/mm]
> divergent ist.
>  Zeigen Sie, dass die Folge [mm]f_k(x) = \frac{kx^2}{1 + kx^2}[/mm],
> [mm]k \in \mathbb{N}[/mm], [mm]x \in [-1,1][/mm] bezüglich [mm]||f|| := \integral_{a}^{b}{|f(t)| dt}[/mm]
> konvergent ist. (Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis
> verwenden, dass [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} arctan(x) = \infty[/mm]
> gilt.
>  Hallo,
>  
> bei der ersten Aufgabe ist mir zumindest schon einmal klar,
> warum die Folge divergent ist: Je größer k, desto steiler
> ist der Anstieg der Anstieg von [mm]f_k[/mm] zwischen 0 und 1.
> Während also für alle [mm]|x| < 1[/mm] gilt, dass [mm]f_k(x) \to 0[/mm]
> für [mm]k \to \infty[/mm] gilt für [mm]x \in [-1,1][/mm], dass [mm]f_k(x) \to 1[/mm].
> Ist das korrekt? Wie kann ich das sauber beweisen?

Ich hab keine Ahnung wie Du auf solche Ideen ko,mmst.

Für [mm] x\ne [/mm] 0 konvergiert [mm] f_k(x) [/mm] gegen 1 und für x=0 gegen 0. Damit ist die Grenzfunktion nicht stetig.  Da alle [mm] f_k [/mm] stetig sind, kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.

>  
> Bei der zweiten Aufgabe bin ich ehrlich gesagt sprachlos,
> und ich frage mich, ob es hier einen Fehler gibt.
> Schließlich gilt doch [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} arctan(x) = \frac{\pi}{2}[/mm]?

Da hast Du recht.

>  
> Danke und Gruß,
>  
> Martin


Bezug
                
Bezug
Divergenz zeigen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:27 Fr 02.04.2021
Autor: sancho1980


> > bei der ersten Aufgabe ist mir zumindest schon einmal klar,
> > warum die Folge divergent ist: Je größer k, desto steiler
> > ist der Anstieg der Anstieg von [mm]f_k[/mm] zwischen 0 und 1.
> > Während also für alle [mm]|x| < 1[/mm] gilt, dass [mm]f_k(x) \to 0[/mm]
> > für [mm]k \to \infty[/mm] gilt für [mm]x \in [-1,1][/mm], dass [mm]f_k(x) \to 1[/mm].
> > Ist das korrekt? Wie kann ich das sauber beweisen?
>  
> Ich hab keine Ahnung wie Du auf solche Ideen ko,mmst.
>
> Für [mm]x\ne[/mm] 0 konvergiert [mm]f_k(x)[/mm] gegen 1 und für x=0 gegen
> 0. Damit ist die Grenzfunktion nicht stetig.  Da alle [mm]f_k[/mm]
> stetig sind, kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.

"Grenzfunktion" ist ein interessantes Stichwort. Ich habe gerade mal danach in meinem Skript gesucht: Dieser Begriff wird aber erst in der nächsten Kurseinheit eingeführt. Meine Lösung muss also ohne diesen Begriff auskommen. Wenn du nochmal liest, was ich geschrieben habe, dann meine ich doch genau das Gleiche! Ich habe mir die Funktion für verschiedene k plotten lassen und gemerkt, dass der Graph mit steigendem k sich immer mehr an die y-Achse anschmiegt und dann bei y=1 urplötzlich nach rechts ausschert. Das meine ich doch mit "der Anstieg wird immer steiler". Im Prinzip ist die Grenz-"Funktion" doch x = 0 für 0 <= y < 1 und y = 1 für x = -1 bzw x = 1, richtig?

Nur wie gesagt: Ich muss die Divergenz zeigen, ohne den Begriff "Grenzfunktion" zu verwenden, sondern zeigen, dass egal wie groß k ist, ich nie ein [mm] k=n_0 [/mm] finden werde, sodass für alle x [mm] f_k(x) [/mm] - f(x) < ein beliebig kleines epsilon.


edit: Ich habe jetzt noch eine Stelle im Skript gefunden, wo es um vollständige Räume (Banachräume) geht. In einem Beispiel geht es um den Raum der stetigen Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall mit der Supremum-Norm. Es wird gezeigt, dass dieser Raum vollständig ist, dass also jede Cauchy-Folge auch gegen ein f konvergiert, welches selbst stetig ist. Dann würde meine Lösung so aussehen:

1) Ich zeige, dass [mm] f_k(0) [/mm] gegen 0 konvergiert.
2) Ich zeige, dass [mm] f_k(x) [/mm] für jedes x <> 0 gegen 1 konvergiert.
3) Ich folgere, dass für den Grenzwert f (so er denn existiert) f(0) = 0 und für jedes x <> 0 f(x) = 1 gelten muss
4) Daraus ergibt sich, dass f (bei x = 0) nicht stetig ist.
5) Weil dieses f also nicht stetig ist, folgere ich, dass es kein Grenzwert meiner Folge sein kann, denn wie ja gezeigt wurde, ist der Grenzwert f einer Folge im Raum der stetigen Funktionen mit der Supremum-Norm selbst auch stetig.

Hast du hiergegen Einwände/Ergänzungen?

Danke und Gruß,

Martin

Bezug
                        
Bezug
Divergenz zeigen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:22 So 04.04.2021
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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