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Divergenz uneigent. Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Di 18.02.2020
Autor: nosche

Aufgabe
zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{1}^{\infty}{sin(\bruch {1}{x}) dx} [/mm]
divergiert. Tipp:nutzen Sie die Substitution [mm] y=\bruch{1}{x} [/mm]


Hallo Wissende,
Ansatz
[mm] y=x^{-1} [/mm]

[mm] \bruch{dy}{dx}=-x^{-2} [/mm]
[mm] "\Rightarrow" dx=-x^2 [/mm] dy
[mm] \integral_{1}^{\infty}{sin(1/x) dx}=\limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{1}^{a}{sin(1/x) dx}\Rightarrow \integral_{1}^{0}{-x^2 sin(y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{y^{-2} sin(y) dy} [/mm]
vielleicht so:
sin(y) ist in [0,1] streng monoton wachsend. Damit schätze ich (waghalsig) das Integral nach unten ab, um eine divergente Minorante zu erhalten:
[mm] \integral_{0}^{1}{y^{-2} sin(1/1000) dy} <\integral_{0}^{1}{y^{-2} sin(y) dy} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{y^{-2} sin(1/1000) dy} [/mm] = sin(1/1000) * [mm] \limes_{a\rightarrow 0^{+}}\integral_{a}^{1}{y^{-2}dy}= [/mm] sin(1/1000)  [mm] \limes_{a\rightarrow 0^{+}} -x^{-1}|_{a}^{1} [/mm] = [mm] -1-\infty [/mm]
Damit ist (wenn das so stimmt (hab kein gutes Gefühl dabei)) eine divergente Minorante gefunden.

// alter Teil gelöscht

Grüße
nosche

        
Bezug
Divergenz uneigent. Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Di 18.02.2020
Autor: leduart

Hallo
es scheint nicht wie am Anfang um  [mm] \integral_1^{oo} [/mm] sondern um   [mm] \integral_1^0 [/mm] zu gehen?
damit kannst du doch einfach sagen sin(y)<=1 und durch  [mm] \integral_1^0 [/mm] y^-2dy abschätzen
das macht mehr sinn als einen kleinen Wert für sin(y) einzusetzen,( falsch ist das nicht)
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Divergenz uneigent. Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:54 Mi 19.02.2020
Autor: fred97


> Hallo

Hallo Leduart

>  es scheint nicht wie am Anfang um  [mm]\integral_1^{oo}[/mm]
> sondern um   [mm]\integral_1^0[/mm] zu gehen?


Ja, durch die Substitution $y=1/x$ wird aus dem ursprünglichen Integral das Integral $ [mm] \int_0^1 \frac{ \sin(y)}{y^2} [/mm] dy.$



>  damit kannst du doch einfach sagen sin(y)<=1 und durch  
> [mm]\integral_1^0[/mm] y^-2dy abschätzen


Damit ist aber nichts gewonnen, denn $ [mm] \int_0^1 y^{-2} [/mm] dy $ ist divergent. Das liefert aber nicht die Divergenz von $ [mm] \int_0^1 \frac{ \sin(y)}{y^2} [/mm] dy.$

Machen wir ein ähnliches Beispiel: bekanntlich ist [mm] $\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2} [/mm] dx$ konvergent.

Es gilt: [mm] $\frac{1}{1+x^2} \le [/mm] 1 $ (für alle $x$) und das Integral  [mm] $\int_0^{\infty} [/mm] 1 dx$ ist divergent.

Gruß FRED

> das macht mehr sinn als einen kleinen Wert für sin(y)
> einzusetzen,( falsch ist das nicht)
>  Gruß ledum


Bezug
        
Bezug
Divergenz uneigent. Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:45 Mi 19.02.2020
Autor: fred97


> zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral
>  [mm]\integral_{1}^{\infty}{sin(\bruch {1}{x}) dx}[/mm]
>  divergiert.
> Tipp:nutzen Sie die Substitution [mm]y=\bruch{1}{x}[/mm]
>  
> Hallo Wissende,
>  Ansatz
>  [mm]y=x^{-1}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{dy}{dx}=-x^{-2}[/mm]
>  [mm]"\Rightarrow" dx=-x^2[/mm] dy
>  [mm]\integral_{1}^{\infty}{sin(1/x) dx}=\limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{1}^{a}{sin(1/x) dx}\Rightarrow \integral_{1}^{0}{-x^2 sin(y) dy}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{y^{-2} sin(y) dy}[/mm]
>  vielleicht so:
>  sin(y) ist in [0,1] streng monoton wachsend. Damit
> schätze ich (waghalsig) das Integral nach unten ab, um
> eine divergente Minorante zu erhalten:
>  [mm]\integral_{0}^{1}{y^{-2} sin(1/1000) dy} <\integral_{0}^{1}{y^{-2} sin(y) dy}[/mm]

Du benutzt also $ [mm] \sin (10^{-3}) [/mm] < [mm] \sin [/mm] (y)$ für $y [mm] \in [/mm] (0,1).$

Leider ist das falsch, denn $ [mm] \sin(y) \to [/mm] 0$ für $y [mm] \to [/mm] 0$ und  $ [mm] \sin (10^{-3}) [/mm] >0.$


>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{y^{-2} sin(1/1000) dy}[/mm] = sin(1/1000) *
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0^{+}}\integral_{a}^{1}{y^{-2}dy}=[/mm]
> sin(1/1000)  [mm]\limes_{a\rightarrow 0^{+}} -x^{-1}|_{a}^{1}[/mm] =
> [mm]-1-\infty[/mm]
>  Damit ist (wenn das so stimmt

Es stimmt nicht,. wie ich oben bemerkt habe.

(hab kein gutes Gefühl

> dabei))

Zu Recht.


> eine divergente Minorante gefunden.
>  
> // alter Teil gelöscht
>  
> Grüße
>  nosche


Es bleibt also zu zeigen, dass $ [mm] \int_0^1 \frac{ \sin (y)}{y^2} [/mm] dy $ divergiert.


Dazu benutzen wir:  [mm] $\frac{ \sin (y)}{y} \to [/mm] 1$ für $y [mm] \to [/mm] 0.$

Damit ex. ein $c [mm] \in [/mm] (0,1)$ mit [mm] $\frac{ \sin (y)}{y} \ge \frac{1}{2}$ [/mm] für $y  [mm] \in [/mm] (0,c).$

Es folgt [mm] $\frac{ \sin (y)}{y^2} \ge \frac{1}{2y}$ [/mm] für $y  [mm] \in [/mm] (0,c).$

Jetzt haben wir eine divergente Majorante gefunden, denn $ [mm] \int_0^1 \frac{1}{2y} [/mm] dy$ ist divergent.


Edit: natürlich meinte ich "divergente Minorante."


Bezug
        
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Divergenz uneigent. Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:34 Mi 19.02.2020
Autor: nosche

ganz herzlichen Dank ledum und fred für eure Unterstützung
@fred97: in deiner abschließenden Bemerkung ist wohl "divergente Minorante" statt "divergente Majorante" gemeint

nosche

Bezug
                
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Divergenz uneigent. Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Mi 19.02.2020
Autor: fred97


> ganz herzlichen Dank ledum und fred für eure
> Unterstützung
>  @fred97: in deiner abschließenden Bemerkung ist wohl
> "divergente Minorante" statt "divergente Majorante"
> gemeint
>  

Ups, da hab ich mich verschrieben. Danke für den Hinweis.

Falls Du es noch nicht gesehen hast: ich habe gerade eine weitere Lösung verfasst, welche ohne Substitution auskommt.


> nosche


Bezug
        
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Divergenz uneigent. Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mi 19.02.2020
Autor: fred97

Es geht auch ohne den Tipp, und zwar mit der gleichen Idee, die ich in meiner ersten Antwort benutzt habe:

Wir haben $ [mm] \frac{ \sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} \to [/mm] 1$ für $x [mm] \to \infty.$ [/mm] Somit ex. ein $c>1$ derart, dass

   $ [mm] \frac{ \sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} \ge \frac{1}{2}$ [/mm]  für $ x [mm] \ge [/mm] c.$

Folglich ist

   [mm] $\sin(\frac{1}{x})\ge \frac{1}{2x}$ [/mm]  für $ x [mm] \ge [/mm] c.$

Das Integral [mm] $\int_1^{\infty} \frac{1}{2x} [/mm] dx$ ist divergent, woraus die Divergenz von  [mm] $\int_1^{\infty} \sin (\frac{1}{x}) [/mm] dx$ folgt.


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