Divergenz mit Fakultät < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:17 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Blubie |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, kann mir jemand an den Beispielen n^70/n! und [mm] 200^n/n! [/mm] zeigen, ob und wie ich divergenz/konvergenz zeige?
ich vermute, dass [mm] 200^n [/mm] gegen 0 läuft und n^70 divergiert, weiß allerdings nicht wie ich das zeigen kann...Ich bin total unerfahren was konvergenz angeht und mit der fakultät tue ich mir sehr schwer...Wir hatten bis jetzt auch noch keine Sätze/Kriterien, die die Fakultät betreffen.
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Hallo,
du meinst die Folgen
[mm] a_n=\frac{n^{70}}{n!} [/mm] u.
[mm] b_n=\frac{200^n}{n!}
[/mm]
Falls ja, so sind deine Vermutungen falsch. Schreibe dir mal ein beliebiges Folgenglied aus, dann siehst du es sicher.
Welche Konzepte stehen dir zur Verfügung, um Folgenkonvergenz bzw. Divergenz zu zeigen? Das könntest du noch angeben. Soweit ich mich erinnere, kommt man beiden Folgen em ehesten mit Hilfe geeigneter Abschätzungen bei.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Blubie |
Wir hatten bis jezt nur die ganz normalen Grenzwärtsetze, d.h. die Multiplikativität des Limes usw. und wir haben definiert was Monotonie ist.
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Hallo,
ok. Es ist in der Analysis für die Helfer immer besonders wichtig zu wissen, welche Methoden bereits erlaubt sind und welche ggf. noch nicht. Daher meine Rückfrage.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei a>0 und wir betrachten [mm] a_n:= \bruch{a^n}{n!}
[/mm]
Dann gilt: [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}= \bruch{a}{n+1} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Somit gibt es ein m mit:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} \le [/mm] 1/2 für n [mm] \ge [/mm] m
Induktiv sieht man dann:
$0 [mm] \le a_{m+k} \le \bruch{1}{2^k}*a_m$ [/mm] für jedes k.
Nun lasse k [mm] \to \infty [/mm] gehen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Blubie |
Wie kannst Du aus [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] eine Konvergenz schließen? Dass a/(1+n) gegen 0 konvergiert ist klar aber wieso konvergiert dann auch [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] gegen null?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wie kannst Du aus [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] eine Konvergenz
> schließen? Dass a/(1+n) gegen 0 konvergiert ist klar aber
> wieso konvergiert dann auch [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] gegen
> null?
Weil
$ [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}= \bruch{a}{n+1} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Blubie |
Tut mir leid, ich habe mich verschrieben. Ich meine: Wie kannst du daraus schließen, dass auch [mm] a_{n} [/mm] gegen null konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0\quad \Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}a_n=0$
[/mm]
ist eigentlich ein netter Beweis, den Du auch mit Deinen Mitteln schon gut machen kannst. Sagen wir, wir sind bei einem sehr großen n und [mm] $a_n=5$ [/mm] (oder was auch immer), was wissen wir dann über [mm] $a_{n+1}$?
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Do 02.06.2011 | | Autor: | Blubie |
Die Rückrichtung stimmt aber nicht, da diese Inklusion für beispielsweise [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nicht gilt.
Trotzdem ist mir noch nicht klar, wieso diese Inklusion gilt...Wie kann man sich das klar machen?
Kann man mittels dieser "Technik" auch Divergenz nachweisen?
Könnte man den Beweis so machen?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}}=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=0. [/mm] Substituiere n+1=:k [mm] \in \IN \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_{k} [/mm] = 0. Also konvergiert [mm] a_{n} [/mm] für große n gegen [mm] \infty
[/mm]
Das funktioniert ja. Dann gilt diese Inklusion also auch für [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}??[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Do 02.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Rückrichtung stimmt aber nicht, da diese Inklusion
> für beispielsweise [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nicht gilt.
>
> Trotzdem ist mir noch nicht klar, wieso diese Inklusion
> gilt...Wie kann man sich das klar machen?
Nochmal: man erhält
$ 0 [mm] \le a_{m+k} \le \bruch{1}{2^k}\cdot{}a_m [/mm] $ für jedes k.
Jetzt lasse k gegen [mm] \infty [/mm] gehen.
FRED
>
> Kann man mittels dieser "Technik" auch Divergenz
> nachweisen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Do 02.06.2011 | | Autor: | Blubie |
Stimmt denn dieser Beweis?
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Hallo,
wenn du den Beweis in deinem letzten Beitrag meinst: der stimmt nicht. Dein Versuch dort basiert auf einem kapitalen Denkfehler.
Weshalb verwendest du nicht die Hinweise von fred97?
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Do 02.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Tut mir leid, ich habe mich verschrieben. Ich meine: Wie
> kannst du daraus schließen, dass auch [mm]a_{n}[/mm] gegen null
> konvergiert?
Daraus:
$ 0 [mm] \le a_{m+k} \le \bruch{1}{2^k}\cdot{}a_m [/mm] $ für jedes k.
FRED
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