Divergenz einer Matrix? < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich frage mich, ob es die Divergenz einer Matrix geben kann. In allen Definitionen ist die Divergenz aber nur für ein Vektorfeld definiert. Bin bei folgender Gleichung darauf gestoßen:
[mm] \frac{\partial}{\partial t} (\rho [/mm] u) + [mm] div_x (\rho [/mm] u [mm] \otimes [/mm] u) = 0,
wobei [mm] \rho \in \IR [/mm] die Dichte (abhängig vom Ort x [mm] \in \IR^d [/mm] und der Zeit t) und u [mm] \in \IR^d [/mm] ein Geschwindigkeitsfeld (abhängig vom Ort x [mm] \in \IR^d [/mm] und der Zeit t) ist.
[mm] \frac{\partial}{\partial t} (\rho [/mm] u) ist doch in [mm] \IR^d. [/mm] Daher muss, damit die Gleichung überhaupt möglich ist, auch [mm] div_x (\rho [/mm] u [mm] \otimes [/mm] u) [mm] \in \IR^d [/mm] sein, oder?
Ich hatte zuerst gedacht, dass das [mm] \otimes [/mm] ein Skalarprodukt ist, aber das geht nicht. Es ist das dyadische Produkt, welches eben eine Matrix ergibt. Die normal definierte Divergenz eines Vektorfeldes ergibt auch ein Skalar und wäre eben nicht möglich.
Ich habe nur ein Übungsblatt im Internet gefunden, wo in Aufgabe 2.1 diese Divergenz definiert wird. Was haltet ihr davon?
http://agsaendig.ians.uni-stuttgart.de/lehre/archiv/ws0506/pdgl-ue/archive/blatt2.pdf
Ich habe aber überall nach der Divergenz einer Matrix geschaut, aber nirgends gefunden.
|
|
| |
|
Hallo,
zumindest klingt es logisch.
Die Definition deckt sich mit so manch anderen Zusammenhängen aus der Tensoranalysis. Betrachte das dyadische Produkt dann nicht als Matrix, sondern als einen Tensor. Wenn du dann mal googlest, und suchst nach "Divergenz Tensorfeld", dann sprengt es nahezu die Suchergebnisse 
Ein Beispiel:
![[]](/images/popup.gif) http://krawietz.privat.t-online.de/tensor.pdf
|
|
|
| |
|
Was wäre denn die Divergenz von einem Tensor anschaulich, gibts da physikalische Zusammenhänge? Unter der Divergenz eines Vektorfeldes konnte ich mir etwas vorstellen :). Das war ja doch mit den Quellen und Senken, wenn die Divergenz pos. bzw. neg. an einer bestimmten Stelle ist.
|
|
|
| |
|
Hallo,
mir ist nicht wirklich eine anschauliche Erklärung bekannt. Allein bei einem Tensor ist das ja schon recht schwer. Was ist ein Tensor anschaulich? Das ist schon eine schwierige Frage.
Vielleicht sollte man die Begriffe einfach so hinnehmen. Überall eine Anschauung zu finden ist sicherlich bei vielen anderen Dingen genauso schwierig.
|
|
|
|
