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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:27 Do 16.12.2004 | | Autor: | BigN |
Ich habe das mit Wurzel, Quotienten, Min., Maj. versucht zu loesen gimg leider nicht.
z.B. mit Quotientenkrit. bekomme ich am Ende 1 !!!
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^n*(2n/(7n+10))
[/mm]
mit Leibniz hab ich doch eine mofa Folge mit lim 2/7 aber nicht o ??
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000003132&read=1&kat=Studium
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:52 Do 16.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe das mit Wurzel, Quotienten, Min., Maj. versucht zu
> loesen gimg leider nicht.
>
> z.B. mit Quotientenkrit. bekomme ich am Ende 1 !!!
>
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>
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^n*(2n/(7n+10))
[/mm]
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> mit Leibniz hab ich doch eine mofa Folge mit lim 2/7 aber
> nicht o ??
Ob die mofa ist, habe ich jetzt gar nicht mehr gerechnet. Aber damit hast du im Prinzip die Lösung der Aufgabe, nur siehst du sie nicht:
Nach Folgerung 1.5.13 (![[]](/images/popup.gif) http://www.math.hu-berlin.de/~ana14/html/node11.html) gilt:
Wäre [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^n*\frac{2n}{7n+10}[/mm] konvergent, so würde 1.5.13 implizieren:
Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=\frac{(-1)^n*2n}{7n+10}$ ($\forall [/mm] n [mm] \in \IN$) [/mm] muss eine Nullfolge sein (und damit insbesondere konvergent). Aber die so definierte Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist divergent (es gibt eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$, [/mm] die gegen [mm] $\frac{2}{7}$ [/mm] konvergiert (nämlich [mm] $(a_{2k})_{k \in \IN}$) [/mm] und es gibt eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$, [/mm] die gegen [mm] $\frac{-2}{7}$ [/mm] strebt (nämlich [mm] $(a_{2k-1})_{k \in \IN}$)).
[/mm]
[Alternativ: Es genügt ja, zu zeigen, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] keine Nullfolge ist.
Wäre die so definierte Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge, so wäre auch die Folge [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $b_n:=|a_n|$ ($\forall [/mm] n [mm] \in \IN$) [/mm] eine Nullfolge. Es gilt aber:
[m]b_n=\frac{2n}{7n+10} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \frac{2}{7}\not=0[/m]. Widerspruch!]
Also gilt: [mm] $a_n \stackrel{n \to \infty}{\not \!\! \longrightarrow}0$, [/mm] und daraus folgt wegen 1.5.13:
[mm]\summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^n*\frac{2n}{7n+10}[/mm] divergent.
Viele Grüße,
Marcel
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