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| Aufgabe | Sei a(n) mit n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n*a(n)=a [mm] \not= [/mm] 0.
Zeigen Sie, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] a(n) divergiert. |
Hallo !
Ich hab etwas Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Es steht doch da, dass a(n) einen Grenzwert hat, dann kann die Folge doch nicht divergieren, oder?!
Vielen Dank schonmal!
Lg
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Hallo Mathe-Alfi!
Zum einen hat der Ausdruck [mm] $\red{n}*a_$ [/mm] einen Grenzwert (und nicht [mm] $a_n$ [/mm] allein!).
Zum anderen ist es für die Konvergenz von [mm] $\summe a_n$ [/mm] ein, ein notwendiges Kriterium, dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Fr 19.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Fall 1: a>0.
Es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] na_n [/mm] > a/2 für n>N, also [mm] a_n [/mm] > [mm] \bruch{a}{2}\bruch{1}{n} [/mm] für n>N. Das Minoranten - Krit. liefert nun die Divergenz der Reihe
Fall 2: a<0.
Setze [mm] b_n [/mm] = [mm] -a_n [/mm] und b= -a. [mm] (b_n) [/mm] erfült die Vor. von Fall 1. also ist
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] divergent und damit auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n
[/mm]
FRED
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