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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:22 So 11.07.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Distributivität des Tensorproduktes, d. h.:
Für Vektorräume V, W und U sind
[mm] V\otimes(W\oplus [/mm] U) und [mm] (V\otimes W)\oplus(V\otimes [/mm] U) natürlich isomorph. |
Heyho!
Sei [mm] \tau_{1} [/mm] die zum Tensorprodukt [mm] V\otimes [/mm] W gehörige Abbildung, [mm] \tau_{2} [/mm] die zu [mm] V\otimes [/mm] U und [mm] \tau [/mm] die zu [mm] V\otimes(W\oplus [/mm] U)
Ich weiß bereits, dass es eine lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] gibt eindeutig bestimmt durch [mm] (\phi\circ\tau)(v,(w,u))=(\tau_{1}(v,w), \tau_{2}(v,u))
[/mm]
Bleibt "nur" zu zeigen, dass [mm] \phi [/mm] ein Isomorphismus ist und natürlich...
Doch wie stelle ich dat an???
Für Natürlichkeit ist ja zu zeigen, dass für Vektorräume [mm] V_{1}, V_{2}, W_{1}, W_{2}, U_{1}, U_{2} [/mm] und Homomorphismen
[mm] \alpha:V_{1}\to V_{2}, \beta:W_{1}\to W_{2}, \gamma:U_{1}\to U_{2} [/mm] gilt:
[mm] (\alpha\otimes\beta)\oplus(\alpha\otimes\gamma)\circ\phi_{1}=\phi_{2}\circ(\alpha\otimes(\beta\oplus\gamma))
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Fr 16.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:41 Fr 16.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Zeigen Sie die Distributivität des Tensorproduktes, d. h.:
> Für Vektorräume V, W und U sind
> [mm]V\otimes(W\oplus[/mm] U) und [mm](V\otimes W)\oplus(V\otimes[/mm] U)
> natürlich isomorph.
>
> Sei [mm]\tau_{1}[/mm] die zum Tensorprodukt [mm]V\otimes[/mm] W gehörige
> Abbildung, [mm]\tau_{2}[/mm] die zu [mm]V\otimes[/mm] U und [mm]\tau[/mm] die zu
> [mm]V\otimes(W\oplus[/mm] U)
> Ich weiß bereits, dass es eine lineare Abbildung [mm]\phi[/mm]
> gibt eindeutig bestimmt durch
> [mm](\phi\circ\tau)(v,(w,u))=(\tau_{1}(v,w), \tau_{2}(v,u))[/mm]
>
> Bleibt "nur" zu zeigen, dass [mm]\phi[/mm] ein Isomorphismus ist und
> natürlich...
>
> Doch wie stelle ich dat an???
So wie immer mit universellen Eigenschaften.
Du hast ebenso genau eine lineare Abbildung [mm] $\psi [/mm] : (V [mm] \otimes [/mm] W) [mm] \oplus [/mm] (V [mm] \otimes [/mm] U) [mm] \to [/mm] V [mm] \otimes [/mm] (W [mm] \oplus [/mm] U)$ mit [mm] $(\psi \circ (\tau_1, \tau_2))((v, [/mm] w), (v', u)) = [mm] \tau(v, [/mm] (w, 0)) + [mm] \tau(v', [/mm] (0, u))$.
Zeige, dass [mm] $\psi \circ \phi$ [/mm] und [mm] $\phi \circ \psi$ [/mm] jeweils die Identitaet sind.
Fuer [mm] $\psi \circ \phi [/mm] : V [mm] \otimes [/mm] (W [mm] \oplus [/mm] U) [mm] \to [/mm] V [mm] \otimes [/mm] (W [mm] \oplus [/mm] U)$ reicht es dazu wegen der Universellen Eigenschaft des Tensorproduktes aus, [mm] $\psi \circ \phi \circ \tau [/mm] = [mm] \tau$ [/mm] zu zeigen. Nimm dir $(v, (w, u)) [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] (W [mm] \oplus [/mm] U)$ und rechne [mm] $\psi(\phi(\tau(v, [/mm] (w, u)))$ aus. Zeige, dass [mm] $\tau(v, [/mm] (w, u))$ herauskommt.
> Für Natürlichkeit ist ja zu zeigen, dass für
> Vektorräume [mm]V_{1}, V_{2}, W_{1}, W_{2}, U_{1}, U_{2}[/mm] und
> Homomorphismen
> [mm]\alpha:V_{1}\to V_{2}, \beta:W_{1}\to W_{2}, \gamma:U_{1}\to U_{2}[/mm]
> gilt:
>
> [mm](\alpha\otimes\beta)\oplus(\alpha\otimes\gamma)\circ\phi_{1}=\phi_{2}\circ(\alpha\otimes(\beta\oplus\gamma))[/mm]
Ja. Auch hier gilt: nachrechnen! (Mit den obigen Eigenschaften von [mm] $\phi_1$ [/mm] und [mm] $\phi_2$. [/mm] Du musst hauptsaechlich auf deine Notation aufpassen.)
LG Felix
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