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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Mo 28.02.2005 | | Autor: | mela |
Hallo ihrs.
Hab heute nen batzen mathehausaufgaben und hänge bei einer aufgabe nu schon seit 2 stunden.
sie lautet: gegeben sind funktionen f k mit
[mm] f_{k} [/mm] (x) = 4
[mm] x^{2} [/mm] + k
untersuche die funktionen [mm] f_{k} [/mm] mit /k/ =4. Erschließe hieraus Typen der Funktionsgraphen von f k.
so. ich war schonmal soweit das es keine nullstellen gibt. weder für k=4 noch für (-4) da das ergebnis von [mm] f_{k}(x)=0=4 [/mm] beträgt und das ist eine unwahre aussage. dann bin ich soweit das der graph achsensymetrisch ist, da [mm] f_{k} [/mm] (x)= [mm] f_{k} [/mm] (-x)
nun wollte ich nach wendepunkten suchen. dazu hab ich für beide funktionen von k (4; (-4)) die ableitung gesucht mit hilfe der quotientenregel:
u´v - uv´
[mm] v^{2}
[/mm]
bin für 4 auf dieses ergebnis gekommen:
-8x
[mm] x^{4}+8x^{2}+16
[/mm]
und für (-4) auf dieses:
8x
[mm] x^{4}-8x^{2}+16
[/mm]
aber jetz komm ich einfach nich weiter. die zweite ableitung will einfach nich. und das mit den extrema konnt ich noch nie :( würde mich freuen wenn mir irgendwer helfen könnte!!! bitte!!!
merci, mela
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mela!
> sie lautet: gegeben sind funktionen f k mit
> [mm]f_{k}[/mm] (x) = 4
> [mm]x^{2}[/mm] + k
>
> untersuche die funktionen [mm]f_{k}[/mm] mit /k/ =4. Erschließe
> hieraus Typen der Funktionsgraphen von f k.
>
> so. ich war schonmal soweit das es keine nullstellen gibt.
> weder für k=4 noch für (-4) da das ergebnis von
> [mm]f_{k}(x)=0=4[/mm] beträgt und das ist eine unwahre aussage.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> dann bin ich soweit das der graph achsensymetrisch ist, da
> [mm]f_{k}[/mm] (x)= [mm]f_{k}[/mm] (-x)
> nun wollte ich nach wendepunkten suchen. dazu hab ich für
> beide funktionen von k (4; (-4)) die ableitung gesucht mit
> hilfe der quotientenregel:
> u´v - uv´
> [mm]v^{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Auch gut ...
Aber an Deiner Stelle würde ich die Ableitungen allgemein, d.h. mit dem Parameter $k$ ermitteln. Dann brauchst Du die Ableitungen nicht zweifach berechnen ...
> bin für 4 auf dieses ergebnis gekommen:
> [mm]x^{2}+4-8x[/mm]
> [mm]x^{4}+8x^{2}+16[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt leider nicht ...
Na, schauen wir mal:
[mm] $f_k(x) [/mm] = [mm] \bruch{4}{x^2+k}$
[/mm]
(Wenn du mit dem Mauszeiger auf die Formel gehst, siehst Du auch wie sie mit dem Formeleditor geschrieben werde, insbesondere der Bruch.)
$u \ = \ 4$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 0$
$v \ = \ [mm] x^2+k$ $\Rightarrow$ [/mm] $v' \ = \ 2x$
[mm] $f_k'(x) [/mm] = [mm] \bruch{0*(x^2+k) - 4*2x}{\left(x^2+k\right)^2} [/mm] = [mm] \bruch{- 8x}{\left(x^2+k\right)^2}$
[/mm]
Willst Du es jetzt nochmal mit der 2. Ableitung versuchen?
> und das mit den extrema konnt ich noch nie :(
> würde mich freuen wenn mir irgendwer helfen könnte!!! bitte!!!
Wenn Du die Sache mit den Wendestellen begriffen hast, ist es mit den Extremstellen ganz leicht, es ist nämlich fast genauso ...
An einer Extremstelle liegt stets eine horizontale Tangente vor, das heißt ja: eine Tangente mit der Steigung 0.
Damit eine Extremstelle vorliegt muß also die 1. Ableitung (= Steigungsfunktion) gleich Null sein: [mm] $f\red{'}(x_E) [/mm] \ = \ 0$
(notwendiges Kriterium).
Diese Bedingung ist aber alleine nicht aussagekräftig. Man muß auch noch untersuchen, ob an der ermittelten Stelle [mm] $x_E$ [/mm] die 2. Ableitung ungleich Null ist. Dabei kann man auch entscheiden, um welches Extremum es sich handelt:
[mm] $f''(x_E) [/mm] \ > \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Minimum
[mm] $f''(x_E) [/mm] \ < \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Maximum
Bei [mm] $f''(x_E) [/mm] \ = \ 0$ ist keine Aussage möglich. Da mußt Du dann überprüfen, ob in der 1. Ableitung ein Vorzeichenwechsel an der Stelle [mm] $x_E$ [/mm] auftritt.
Ich hoffe, das hilft Dir etwas weiter ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Mo 28.02.2005 | | Autor: | mela |
hallo loddar.
danke für deine mühe.
meinen fehler in der 1. ableitung habe ich schon selber entdeckt, 2 minuten nachdem ich abgeschickt habe, da hast du aber schon dran gesessen. ich werd jetzt mal den rest versuchen. wenns nich klappt meld ich mich nochmal!!!
lieben dank!
mela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mo 28.02.2005 | | Autor: | mela |
ich gerate hier noch in verzweiflung.
ich hab alles soooo schön ausgerechnet aber eigentlich nur schmand raus bekommen. ich versage bei den einfachsten sachen.
zb:
[mm] f_k [/mm] ´(x) = [mm] \bruch{(-8)x}{(x^2+4)^2} [/mm]
ist ja vollständig aufgelöst:
[mm] f_k [/mm] ´(x) = [mm] \bruch{(-8)x}{x4+8x^2+16} [/mm]
wenn ich da nich auch schon versagt habe.
so. wenn ich das jetzt wieder mit der hübschen quotientenregel ableiten will erhalte ich ja:
[mm] f_k [/mm] ´´(x) = [mm] \bruch{(-8)*(x^4+8x^2+16)-(-8x)*(4x^3+16x)}{(x^4+8x^2+16)^2}
[/mm]
da taucht schon mein nächstes problem auf. muss ich die ergebnisse von uv´mit dem - noch vor (-8x) multiplizieren oder nich, also [mm] ((-8x)*4x^3)*(-1)
[/mm]
wenn ja kommt bei mir am ende im zähler raus:
[mm] 24x^4+64x^2-128
[/mm]
das setze ich nun gleich 0 und ersetze [mm] x^2 [/mm] durch z.
ich erhalte also: [mm] 24z^2+64z-128=0
[/mm]
wenn ich nun durch 24 dividire kann ich die pq-formel anwenden und erhalte nachdem ich aus den ergebnissen noch einmal die wurzel gezogen habe voll die komischen werte:
[mm] x_1 \approx [/mm] 2,404 [mm] x_2 \approx [/mm] 2,906
irgendetwas kann doch da nicht stimmen oder freut sich unser mathebuch über ungerade werte? bevor ich mich jetz dumm und dämlich rechne, würde mich erstmal interessieren obs so richtig ist.
merci im voraus, mela
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hallo mela,
ich würde an deiner stelle den bruch nciht auflösen, da man nachher schön kürzen kann und es einem die sache etwas erleichtert.
also anstatt
[mm]f_k[/mm] ´(x) = [mm]\bruch{(-8)x}{x4+8x^2+16}[/mm]
lässt du
[mm]f_k[/mm] ´(x) = [mm]\bruch{(-8)x}{(x^2+4)^2}[/mm]
stehen.
wenn wir das jetzt mit der quotientenregel und der "innere mal äußere - regel" ableiten bekommen wir
$ [mm] \bruch{(-8)(x^2+4)^2-2(x^2+4)(2x)(-8x)}{(x^2+4)^4} [/mm] $
nun können wir [mm] (x^2+4) [/mm] im nenner und zähler kürzen, da es im zähler auch in beiden teilen vorkommt
$ [mm] \bruch{(-8)(x^2+4)-2(2x)(-8x)}{(x^2+4)^3} [/mm] $
wenn wir den zähler nun ausmultiplizieren und zusammenfassen erhalten wir
$ [mm] \bruch{24x^2-32}{(x^2+4)^3} [/mm] $
wenn du nun den zähler gleich null setzt (was nun auch deutlich einfacher ist) erhälst du
[mm] 24x^2-32=0
[/mm]
[mm] 24x^2=32
[/mm]
[mm] x^2=32/24 [/mm] = 4/3
x = [mm] \wurzel{4/3} \vee [/mm] x = - [mm] \wurzel{4/3}
[/mm]
ich finde diese ergebnisse sind garnicht soooo schlecht.
wünsche dir noch viel durchhaltevermögen bei der aufgabe (soetwas ziueht sich immer unheimlich in die länge).
lg, emily
> da taucht schon mein nächstes problem auf. muss ich die
> ergebnisse von uv´mit dem - noch vor (-8x) multiplizieren
> oder nich, also [mm]((-8x)*4x^3)*(-1)
[/mm]
>
> wenn ja kommt bei mir am ende im zähler raus:
>
> [mm]24x^4+64x^2-128
[/mm]
> das setze ich nun gleich 0 und ersetze [mm]x^2[/mm] durch z.
> ich erhalte also: [mm]24z^2+64z-128=0
[/mm]
> wenn ich nun durch 24 dividire kann ich die pq-formel
> anwenden und erhalte nachdem ich aus den ergebnissen noch
> einmal die wurzel gezogen habe voll die komischen werte:
>
> [mm]x_1 \approx[/mm] 2,404 [mm]x_2 \approx[/mm] 2,906
>
> irgendetwas kann doch da nicht stimmen oder freut sich
> unser mathebuch über ungerade werte? bevor ich mich jetz
> dumm und dämlich rechne, würde mich erstmal interessieren
> obs so richtig ist.
> merci im voraus, mela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mo 28.02.2005 | | Autor: | mela |
erstmal danke emily!
aber ich verstehe einen teil nich so ganz:
> wenn wir das jetzt mit der quotientenregel und der "innere
> mal äußere - regel" ableiten bekommen wir
>
> [mm]\bruch{(-8)(x^2+4)^2-2(x^2+4)(2x)(-8x)}{(x^2+4)^4}[/mm]
>
> nun können wir [mm](x^2+4)[/mm] im nenner und zähler kürzen, da es
> im zähler auch in beiden teilen vorkommt
>
> [mm]\bruch{(-8)(x^2+4)-2(2x)(-8x)}{(x^2+4)^3}[/mm]
da bin ich nich ganz mit gekommen. mag sein, dass ich heute einfach nich mehr so aufnahmefähig bin, da ich wirklich schon seit mehreren stunden lerne (freitag abi-vokla) aber ich würd mich freuen wenn du (oder irgendwer anders, wenn du keine zeit hast) das ma irgendwie genauer erläutern könntest....wie du auf die 2 gekommen bist und die 2x und so. ich peils nich *verzweifel*
danke, mela
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huhu mela, schreibe freitag auch meine abivorklausur *biber*
es ist so:
wenn wir die quotientenregel anwenden, haben wir ja u'v mal v'u durch [mm] v^2. [/mm] in diesem fall ist v = [mm] (x^2+4)^2 [/mm] das heisst wir müssen das quadrat con der klammer auch noch mit da rein bringen, und dafür gibt es auch eine regel, verkettung heisst die glaub ich. also haben wir [mm] (g)^f [/mm] ist abgeleitet f(g)^(f-1) (g')
so lautet die regeal dafür, eben aäußere ableitung mal innen mal innere ableitung. steht auch in der formelsammlung glaub ich, schau mal bei verkettung.
wünsch dir noch viel glück, deine emi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Mo 28.02.2005 | | Autor: | mela |
ich hab mein problem gefunden! hat sich erledigt!!! danke für euer aller geduld und so! schönen abend noch!
*greetz* mela
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