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| Aufgabe | Gegeben sei eine beliebige Menge X. Zeigen Sie, dass die Funktion
d: X [mm] \otimes [/mm] X [mm] \to [/mm] {0,1}
[...]
eine Metrik auf X definiert. (d wird als diskrete Metrik auf X bezeichnet.) Können Sie eine Charakterisierung der offenen sowie der abgeschlossenen Teilmengen von X angeben? |
Hallo!
Meine Gedanken zur Aufgabenstellung:
(1) X besteht aus nur (zwei) isolierten Punkt
(2) Ein isolierter Punkt ist abgeschlossen?
(Stimmt wohl nicht wg. (3)??? Erschiene mir aber eigentlich logisch...)
(3) In einem topologischen diskreten Raum sind alle Teilmengen offen
(Steht auf Wikipedia)
Nun, wenn (3) zutrifft, dann ist das "sowie der abgeschlossenen Teilmengen" in der Aufgabenstellung sinnlos. Aber stimmt die Wikipedia-Weisheit denn überhaupt - und wieso? (Definitionen für offen/abgeschlossen kenne ich und dachte ich, verstanden zu haben.)
Sind vielleicht alle "echten" Teilmengen [mm] (\subset) [/mm] offen und nur die "unechte" Teilmenge [mm] (\equiv) [/mm] abgeschlossen?
- Danke für Eure Antworten!
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 24.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
erst mal ein kleiner Hinweis vorneweg: wenn es nicht gerade um so geläufige Begriffe wie "diskrete Metrik" geht ist es sehr zu empfehlen, auch die Abbildungsvorschrift der Funktion d anzugeben, nicht nur Definitions- und Wertebereich, sonst können wir leider nicht weiterhelfen.
Zu Deinen Überlegungen:
>
> (1) X besteht aus nur (zwei) isolierten Punkt
Stmmt, X enthält nur isolierte Punkte. Wie viele das sind ist aber nicht gesagt, denn X kann zwischen gar keinem und unendlich vielen Punkten alles enthalten, was man sich denken kann.
>
> (2) Ein isolierter Punkt ist abgeschlossen?
> (Stimmt wohl nicht wg. (3)??? Erschiene mir aber eigentlich
> logisch...)
In der Topologie werden abgeschlossene Mengen üblicherweise mit Hilfe offener Mengen bestimmt (M ist abgeschlossen, wenn sein komplement offen ist). Daher verschieben wir die Betrachtung dieses Punktes besser hinter (3)...
>
> (3) In einem topologischen diskreten Raum sind alle
> Teilmengen offen
> (Steht auf Wikipedia)
>
> Nun, wenn (3) zutrifft, dann ist das "sowie der
> abgeschlossenen Teilmengen" in der Aufgabenstellung
> sinnlos.
> Aber stimmt die Wikipedia-Weisheit denn überhaupt
> - und wieso? (Definitionen für offen/abgeschlossen kenne
> ich und dachte ich, verstanden zu haben.)
Wenn Wikipedia das sagt, dann wird es wohl stimmen. Aber warum? Betrachte doch einmal die Epsilon-Kugel um einen Punkt $x [mm] \in [/mm] X$ mit Radius [mm] $\frac{1}{2}$! [/mm] Wie verändert sie sich, wenn der Radius kleiner wird? Wie sieht also eine möglichst kleine Umgebung von x aus?
>
> Sind vielleicht alle "echten" Teilmengen [mm](\subset)[/mm] offen
> und nur die "unechte" Teilmenge [mm](\equiv)[/mm] abgeschlossen?
Als Grundregel für alle metrischen (und sogar alle topologischen) Räume gilt: Der Gesamtraum und die leere Menge sind in jedem Fall gleichzeitig offen und abgeschlossen.
Das ist denke ich ein Punkt, der sehr vielen Schwierigkeiten macht: "offen" und "abgeschlossen" sind keine sich gegenseitig ausschließenden Eigenschaften!!!!
Zurück zu (2): Wenn also -wie wir gesehen haben - jede Teilmenge von X offen ist, was sind dann die abgeschlossenen Teilmengen?
Gruß
piet
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| Aufgabe | | [mm] d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \\ 1, & \mbox{für } x\not=y \end{cases} [/mm] |
Vielen Dank!
Ich _wusste_ zwar, dass Gesamtraum und leere Menge abgeschlossen und offen zugleich sind, dachte aber, diese beiden Eigenschaften würden sich ansonsten ausschließen.
Hiermit gebe ich nun auch doch noch, die zugehörige Funktion d an, um meine Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe zu erklären. Diese Funktion spuckt mir ja gerade für zwei Punkte aus der jeweils identischen Menge entweder den Abstand 0 oder 1 aus -
Für mich heißt das, entweder ist es derselbe Punkt oder die Punkte sind eine Längeneinheit entfernt => Es gibt nur zwei Punkte!
(Oder ist diese Vorstellung naiv und damit nicht geeignet?)
...und zurück zur ursprünglichen Frage:
Es sind dann alle Teilmengen von X abgeschlossen und offen zugleich. Richtig!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Do 24.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Für mich heißt das, entweder ist es derselbe Punkt oder die
> Punkte sind eine Längeneinheit entfernt => Es gibt nur zwei
> Punkte!
Und wieso?
> (Oder ist diese Vorstellung naiv und damit nicht
> geeignet?)
Hm, ich würde sie nicht naiv, sondern einfach bloß falsch nennen: wenn du drei Punkte als Ecken eines gleichseitgen Dreiecks anschaust, haben diese paarweise den gleichen Abstand - somit ist die diskrete Metrik für einen Raum aus diesen drei Punkten eben ganz einfach die "naive" eingeschränkt aus der Ebene. Also meine Naivität lässt hier drei oder vier-elementige Mengen (Tetraeder) sofort zu.
> ...und zurück zur ursprünglichen Frage:
> Es sind dann alle Teilmengen von X abgeschlossen und offen
> zugleich. Richtig!?
Ja.
SEcki
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