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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 So 28.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe 1 | Man würfelt zehnmal mit einem unverfälschtem Würfel. Die Anzahl der hierbei erhaltenen Fünfen ist natürlich zufallsabhängig.
a) Gemäß welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung ist diese Zufallsgröße verteilt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das man mindestens dreimal eine Fünf erhält?
b) Der Wertebereich der Zufallsgröße ist die Menge der granzen Zahlen zwischen 0 und 10 einschließlich. Die Frage nach der Verteilung ist in Teil a) beantwortet worden. Was ist eigentlich der Definitionsbereich dieser Zufallsgröße? |
| Aufgabe 2 | | Welche rechnerischen Probleme treten auf, wenn man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen will, dass man bei 9999 Würfen mit einer unverfälschten Münze mindestens 5050-mal kopf erhält? Sie brauchen die Probleme nur zu beschreiben, aber nicht zu lösen. Warum können Sie aber sehr einfach die Frage beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit man mindestens 5000-mal das Ergebnis Kopf erhält? |
| Aufgabe 3 | | Bei einer Großbäckerei wird Kuchenteig in riesigen Behältern gerührt. Was spricht dafür, was spricht dagegen, dass die Anzahl der Rosinen pro Liter Kuchenteig poissonverteilt ist? Was spricht dagegen, dass die Anzahl der Fische pro Kubikmeter Wasser in einem See poissonverteilt ist? |
| Aufgabe 4 | Über zwanzig Jahre hinweg wurde bei zehn preußischen Kavallerieregimentern beobachtet, wieviele Soldaten einen tödlichen Hufschlag durch Pferde erlitten. Diese zweihundert (nämlich zwanzig mal zehn) nichtnegativen, ganzen Zahlen lassen sich relativ gut mit der Poisson-Verteilung erklären. Die folgende Tabelle gibt wieder, wie oft unter diesen Zahlen die Werte 0,1,2,3, und 4 vorkommen. Mehr als 4 Tote gab es in keinem der Regimenter.
[mm] \vmat{ k & Anzahl \\ 0 & 109 \\ 1 & 65 \\ 2 & 22 \\ 3 & 3 \\ 4 & 1 \\ >4 & 0}
[/mm]
Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten für 0 bis 4 und mehr als 4. Was ergibt sich jeweils als Wahrscheinlichkeit für diese fünf Möglichkeiten, wenn man eine Poissonverteilung verwendet, und zwar mit a als Quotient aus der Gesamtzahl der Toten und dem Produkt aus der Zahl der Jahre und der Zahl der Regimenter? Sie wählen für a also die mittlere Anzahl von Toten pro Jahr und Regiment. Vergleichen Sie die relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten! |
Zu Aufgabe 1.
a)
Die Zufallsgröße ist natürlich binomialverteilt.
w(min. 3 Fünfen) = 1 - w(max. 2 Fünfen) = 1 - w(2) - w(1) - w(0) =
[mm] = 1 - \vektor{10\\2} * (\bruch{1}{6})^2 * (\bruch{5}{6})^8 - \vektor{10\\1} * (\bruch{1}{6})^1 * (\bruch{5}{6})^9 - \vektor{10\\0} * (\bruch{1}{6})^0 * (\bruch{5}{6})^{10} = [/mm]
[mm] = 1 - 45 * \bruch{5^8}{6^{10}} - \bruch{10*5^9}{6^{10}} - \bruch{5}{6}^{10} \approx 1 - 0,29071 - 0,32301 - 0,16151 = 0,22477[/mm]
b)
Die Frage ist hier ja, was der Definitionsbereich dieser Zufallsgröße ist.
Nun, ich habe mal gelernt, dass die Zufallsgröße den Ergebnisraum des ihr zugehörigen Wahrscheinlichkeitsmaßes in die reellen Zahlen abbildet.
Nun, was ist der Ergebnisraum hier? Im Prinzip doch die Menge [mm]\Omega = \{ w(0),w(1),w(2),...,w(10)\}[/mm], oder?
Aber diese Antwort kommt mir wiederum etwas komisch vor. Was könnte hier gemeint sein?
Zu Aufgabe 2.
Nun, rechnerisch tritt alleine schon das Problem auf (man betrachtet wiederum eine binomialverteilte Zufallsgröße), dass man Binomialkoeffizienten dieser Größenordnungen nicht mehr mit einem "verträglichen" Aufwand bestimmen kann. Zumindest nicht mit Stift, Papier und einem handelsüblichen Taschenrechner.
Die Frage für mindestens 5000 mal das Ergebnis Kopf bei einer Wahrscheinlichkeit p = 0,5 und 9999 Würfen ist hingegen wirklich einfach zu bestimmen.
Binomialverteilungen für die Wahrscheinlichkeit p = 0,5 sind symmetrisch verteilt, wie man weiß oder sich einfach überlegen kann:
[mm]w(k) = \vektor{n\\k} * (\bruch{1}{2})^k * (\bruch{1}{2})^{n-k} = \vektor{n\\n-k} * (\bruch{1}{2})^{n-k} * (\bruch{1}{2})^k = w(n-k)[/mm]
Einfaches Umstellen und eine Kerneigenschaft des Binomialkoeffizienten ausgenutzt.
Da hier die rechte Hälfte es Ergebnisraumes betrachtet wird, die gleich der linken Hälfte des Ergebnisraumes ist (Symmetrie + gerade Anzahl an Elementen) ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit = 50%.
Zu Aufgabe 3.
Rosinen pro Liter Kuchenteig poissonverteilt?
Naja, aus dem Bauch heraus hängt das sicher von dem produzierten Kuchen ab. Die Poissonverteilung ist ja die Verteilung der seltenen Ereignisse. Ein richtig guter Christstollen enthält bestimmt wesentlich mehr Rosinen als ein geizig produzierter Käsekuchen.
Nur, sind die Rosinen über diesen Kuchenteig wirklich zufällig verteilt? Oder wird man sich in der besagten Groß-Bäckerei nicht eher Mühe geben, diese einigermaßen gleichmäßig unter den Teig zu verteilen? Kann man dann überhaupt noch von einer Poisson-Verteilung reden, wenn es sich annähernd um eine Gleichverteilung handelt? Ich denke eher nicht...
Letztlich ist das aber schon wieder eine ziemlich komische Frage, bei der ich mich Frage auf welchen Gedankengang mich der Aufgabensteller bringen will?
Ähnliches bei den Fischen im See. Da ist sicherlich nicht jeder Ort gleichermaßen für Fische geeignet wie andere (Fressfeinde etc.). Es handelt sich bestimmt nicht um eine zufällige Verteilung. Zumal Fische ein Bewusstsein haben und sich gerne in Gruppen aufhalten (nicht alle, aber doch viele)... und in was für "Intervalle" rastert man überhaupt einen See? 
Zu Aufgabe 4.
relative Häufigkeiten:
[mm]r_n(0) = 109/200 = 0,545[/mm]
[mm]r_n(1) = 65/200 = 0,325[/mm]
[mm]r_n(2) = 22/200 = 0,11[/mm]
[mm]r_n(3) = 3/200 = 0,015[/mm]
[mm]r_n(4) = 1/200 = 0,005[/mm]
[mm]r_n(>4) = 0[/mm]
a = [mm] \bruch{Tote gesamt}{Jahre * Regimenter} =\bruch{122}{200} [/mm] = [mm] \bruch{61}{100}
[/mm]
Wahrscheinlichkeiten gemäß Poissonverteilung mit obigem a:
[mm]f(0) = e^{-\bruch{61}{100}} * \bruch{a^0}{0!} = e^{-\bruch{61}{100}} * 1 \approx 0,54335[/mm]
[mm]f(1) = e^{-\bruch{61}{100}} * \bruch{\bruch{61}{100}^1}{1!} \approx 0,33144[/mm]
[mm]f(2) = e^{-\bruch{61}{100}} * \bruch{\bruch{61}{100}^2}{2!} \approx 0,10109[/mm]
[mm]f(3) = e^{-\bruch{61}{100}} * \bruch{\bruch{61}{100}^3}{3!} \approx 0,02056[/mm]
[mm]f(4) = e^{-\bruch{61}{100}} * \bruch{\bruch{61}{100}^4}{4!} \approx 0,00313[/mm]
[mm]f(mehr als 4) = 1 - (f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4)) = 0,00043[/mm]
Und... welche Überraschung die relativen Häufigkeiten oben stimmen nahezu mit den unten berechneten Wahrscheinlichkeiten gemäß der Poissonverteilung überein...
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Allgemein
Wenn ihr mir helfen wollt und bis hierhin gelesen habt - auch Antworten zu einzelnen Aufgaben(-teilen) helfen mir natürlich weiter.
Mit hoher Wahrscheinlichkeit findet sich dann noch jemand anders, der mir zu anderen Bereichen weiterhelfen kann. 
Ich danke für das Lesen und denjenigen die können und wollen im Voraus für die Hilfen!
Liebe Grüße,
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Di 30.03.2010 | | Autor: | rrgg |
Aufgabe 1:
a) Binom. Vert. ist richtig
b)eine ZV ist eine Abb. von einem W-Raum [mm] (\Omega;\mathcal{A};P) [/mm] in einen Messraum [mm] (\Omega_2;\mathcal{A}_2) [/mm] die [mm] (\mathcal{A},\mathcal{A}_2) [/mm] messbar ist.
Als W-Raum [mm] (\Omega;\mathcal{A};P) [/mm] kann man hier z.B.: [mm] (\{1,...,6\}^{10},2^{\Omega},\mathcal{P}(\omega)=\bruch{1}{|\Omega|}) [/mm] nehmen. [mm] \{1,...,6\}^{10} [/mm] wäre dann der Definitionsbereich
Der Rest passt ja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Mi 31.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Ich danke dir für deine Hilfe.
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